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matlab与线性代数实验基础
作者：xuan97916
一、行列式
1、行列式的输入
方括号内逐行键入元素，同一行元素用逗号或者空格，两行元素之间用分号隔开。
在命令的末尾使用分号会终止输出！
A=[1,2,3;4,5,6;7,8,9]
2、行列式元素的表示
可以用一个下标表示（从上到下之字形）也可以用两个下标表示（行列）如
A(1,2) =A（4）
3、行列式的基本运算
· （1）读取整行：A(行数,:)
（2）读取整列：A(:,列数)
(3)读取行列式中的部分行列b=A([行数,行数```],[列数,列数```])
(4)去掉行列式中的某些行列
A([行数,行数,…],:) =[ ]
A(:,[列数,列数,…]) =[ ]
(5)计算行列式的值
det(A)
二、矩阵
1、矩阵的输入
生成m阶单位方阵：eye(m)
生成m*n阶单位矩阵：eye(m,n)
生成m阶全1方阵：ones(m)
生成m*n阶全1矩阵：ones(m,n)
生成m阶全0方阵：zero(m)
生成m*n阶全0矩阵：zeros(m,n)
2、矩阵的输入
加法：A+B
减法：A-B
数乘：k*A
矩阵乘法：A*B
矩阵转置：A’或者Transpose[A]
矩阵的逆：inv（A）
矩阵的行列式 det(A)
矩阵的幂：A^m
3、矩阵的相关函数
（1）生成矩阵的行数与列数：size（A）
第一个数是矩阵的行数，第二个数是矩阵的列数。
（2）生成对角矩阵：diag（A）
生成对角矩阵主对角线上的元素
（3）生成上三角矩阵：triu（A）
（4）生成下三角矩阵：tril（A）
三、矩阵的应用
1、向量组的秩：rank（A）
2、判断线性相关性
一般步骤（1）输入向量组
（2）用A’将行向量转置为列向量
·· （3）用rref（A）命令求秩
例：判断向量组a1=(1 2 0 1), a2=(1 3 0 -1), a3=(-1 -1 1 0)是否线性相关,并求秩。
>> A=[1 2 0 1;1 3 0-1;-1 -1 1 0]; %输入矩阵
>>A=A’ % 将行向量转置为列向量再求秩
>>rank(A) %求秩
Ans = 3
（注意：当rank（A）等于向量组个数时，线性无关，否则线性相关）
3、求向量组的极大无关组
一般步骤：（1）输入向量组，并将其进行转置
（2）化为分数形式
（3）将向量化为行最简型
（4）对线性相关性进行判断
注：将矩阵化为行最简型的命令为：rref（A）或者rrefmovie（A）
例1：求下列向量组的秩和一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大无关组线性表示。
a1=(2 -1 3 5)，a2=(4 -3 1 3)，a3=(3 -2 3 4)，
a4=(4 -1 15 17)，a5=(7 -6 -7 0)
>> A=[2 -1 3 5;4 -3 1 3;3 -2 3 4;4 -1 15 17;7 -6 -7 0];
>> A=A′ %将行向量转化为列向量进行运算
>> format rat %分数格式形式
>> rref(A) %将A变换为行最简型
ans =
1 0 0 2 1
0 1 0 -3 5
0 0 1 4 -5
0 0 0 0 0
因为前三行的向量均不全为0，且第1，2，3列的均为1开头，所以a1，a2，a3为一个极大无关组。
例2：求下列向量组的秩和一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大无关组线性表示。
a1=(1,-2,2,3)，a2=(-2,4,-1,3)，a3=(-1,2,0,3)，a4=(0,6,2,3)，a5=(2,-6,3,4)
解：
A=[1,-2,2,3;-2,4,-1,3;-1,2,0,3;0,6,2,3;2,-6,3,4]
>> A=A′ %将行向量转化为列向量进行运算
>> format rat %分数格式形式
>> rref(A) %将A变换为行最简型
A1,a2,a4为一个线性无关组，a3，a5可用其其线性表示
3、线性方程组的求解
（1）使用克莱姆法则求解
>> A=[2 1-5 1;1 -3 0 -6;0 2 -1 2;1 4 -7 6]; %输入系数矩阵
>>D=det(A) %判断解的情况
D = 27
>> C1=A;C2=A;C3=A;C4=A;b=[8;9;-5;0];
%将A赋值给不同变量
>> C1(:,1)=b;D1=det(C1); %将某行替换为系数列
x1=D1/D %x求解x1
x1 = 3
>> C2(:,2)=b;D2=det(C2);x2=D2/D
>> C3(:,3)=b;D3=det(C3);x3=D3/D
>> C4(:,4)=b;D4=det(C4);x4=D4/D
（2）使用矩阵左除法求线性方程的解
线性方程组AX=B的一个解为X=A\B。
例：利用左除法求解上题中线性方程组的解.
>> A=[2 1 -5 1;1 -3 0 -6;0 2 -1 2;1 4 -7 6];
>>rank(A)
>> b=[8;9;-5;0];
>> x=A\b %左除法
x =
3.0000
-4.0000
-1.0000
1.0000
(3)利用矩阵的行（列）初等变换求线性方程组的通解
基本步骤：（1）将线性方程组表示成增广矩阵的形式；
（2）对增广矩阵实行初等变换，使增广矩阵转化为行阶梯形矩阵；
（3）得到方程组的解。
例：求解线性方程组
>>A=[1,1,1,1;0,1,-1,1;2,3,1,3]; %方程组的增广矩阵
>>F=rref(A); %将方程组增广矩阵化为行阶梯形矩阵
>>F %输出增广矩阵的行阶梯形矩阵
F =
1 0 2 0
0 1 -1 1
0 0 0 0
由该阶梯形矩阵，可得方程组：x1=-2x3 x2=x3+1
方程组解为:
（4）求非齐次线性方程组的通解
非齐次线性方程组需要先判断是否有解，若有解，再进一步求通解。
一般步骤为：
第一步：判断AX=b是否有解，若有解则进行第二步；（R(A)与R(A,b)比较，即比较系数矩阵的秩和增广矩阵的秩）
第二步：求AX=b的一个特解；（矩阵除法）
第三步：求AX=0的通解；（利用null命令）
第四步：AX=b的通解：AX=0的通解+AX=b的一个特解。
例：判断方程组
%第一步：判断系数矩阵与增广矩阵的秩
>> A=[1 -1 1 -1;-1 1 1 -1;2 -2 -1 1]; %系数矩阵A
>> b=[1;1;-1]; %常数b
>> rank(A) %系数矩阵的秩
ans =
2
>> rank([A,b]) %增广矩阵的秩
ans =
2
%求通解
化行最简形，用rref命令
>> rref([A,b])
ans =
1 -1 0 0 0
0 0 1 -1 1
0 0 0 0 0
取x2,x4为自由变量,从而通解为：x1=x2,x3=x4+1
（2）先求出特解及导出组的基础解系, 用命令null，例如：
>>x0=A\b %方程组的一个特解
x0 =
0
0
1
0
>>x1=null(A) %求导出组的基础解系
x1 =
-0.7071 0
-0.7071 0
-0.0000 0.7071
-0.0000 0.7071
故原方程组的通解为
(x1,x2,x3,x4)=(0,0,1,0)+c1(-0.7071,-0.7071,0,0) +c2(0,0, 0.7071, 0.7071),c1,c2为任意常数.
null是用来求齐次线性方程组的基础解系的，加上‘r‘则求出的是一组最小正整数解，如果不加，则求出的是解空间的规范正交基。(x1=null(A,‘r‘))
四、运用矩阵运算进行图像处理
1、图像的读写
Imread：读入各种图像文件
[I,map]=imread(‘face.gif’)
Imwrite:输出图像，将图像数据矩阵写入文件中
Imwrite（i，‘face.gif’）
Imwrite（i，map，‘face.gif’）
2、图像的显示
Imshow：显示各种图像的函数
其中I是图像数据矩阵，map是对应的颜色矩阵：
[I,map]=imread(‘face.gif’)
Imshow(I,map)
3、窗口的多开
[I,map]=imread(‘face.gif’)
Imshow(i.map)
[j,map]=imread(‘flowers.gif’)
Figure,imshow(j,map) %实现（j，map）窗口的多开
4、查看图像的大小
[I,map]=imread(‘face1.gif’)
Size(i)
Ans=140 144 %表示高为140 宽为144
5、多幅图像显示在同一个对话框中
Subplot（n,m,p）将一个显示对话框分成m行n列，并显示第p幅图像
Subplot（2，2，3），imshow（I3），title（‘I3图像’）
表示将一个图像显示对话框分成2行2列，并在第3个位置显示I3图像，图像标题为“ I3图像”
6、读取图像的基本操作
例1：读取gif类型的图像
>>[i.map]=imread(‘face.gif’)
>>Size(i)
>>size(map)
>>imshow(i.map)
>>A=[0 0 0;0 1 0;0 0 1] %设置颜色变换矩阵A
>>map=map*A %利用矩阵修改颜色表数据map
Imshow（I,map）
例2：读取jpg类型的图像文件
>>[I,map]=imread(‘face.jpg’)
>>size(i)
>>size(map)
>>imshow(I,map)
>>i((：，：，2)=i(：，：，2)*0 //将绿色矩阵的值设置为0
>>imshow(I,map)
7、图像相加、相减、数乘
（1）相加：降低图像噪声的影响
（2）相减：将两图的差异显示出来
（3）数乘：数乘大于1的数，亮度增加；
数乘小于1的数，图像变暗
五、在处理图像水印中的应用
将水印嵌入到图像中实质上是进行两个图像矩阵的加法运算
去掉水印则是进行矩阵减法运算。
（1）例：利用矩阵运算往图像中嵌入文字水印的例子。
1．读取原图像hudie.jpg到I中。
>>I=imread(‘hudie.jpg‘);
>>imshow(I)
2．读取原图像hudie.jpg的大小，并将图像的高、宽存到m、n中。
>>s=size(I);
>> m=s(1)
>> n=s(2)
3．读取水印图像huaduo_sy.jpg到J中，并将图像大小调整成与原图像相同。使用imresize()函数可以改变图像的大小。
>>J=imread(‘xiaohui_sy.jpg‘);
>>imshow(J);
>>J1=imresize(J,[m,n]); //将图像矩阵J的高、宽变为m*n
4．将水印图像的红、绿、蓝三个颜色矩阵乘上系数0.3，以降低像素点颜色的饱和度。
>>J1(:,:,1)= J1(:,:,1)*0.3;
>>J1(:,:,2)= J1(:,:,2)*0.3;
>>J1(:,:,3)= J1(:,:,3)*0.3;
5．将原图像与改变后的水印图像相加，嵌入水印。
>>I1=im2double(I);
>>J2=im2double(J1);
>> A=I1+J2;
>>imshow(A);
6．将嵌入水印后的图像保存在hudie_add.jpg文件中。
>>imwrite(A,‘hudie_add.jpg‘)
7．将处理过的数字图像水印保存在xiaohui_syh.jpg文件中。
>>imwrite(J1, ‘xiaohui_syh.jpg‘)
（2）去掉数字图像水印
例：利用矩阵运算去掉图像中的数字图像水印的例子。
1．读取嵌入水印的图像hudie_add.jpg到SA中。
>>SA=imread(‘hudie_add.jpg‘);
>> imshow(SA)
2．读取处理过的水印图像xiaohui_syh.jpg到I中。
>> I=imread(‘xiaohui_syh.jpg‘);
3．将嵌入水印后的图像与处理后的水印图像相减，去掉水印。
>> SA1=im2double(SA);
>> I1=im2double(I);
>> A=SA1-I1;
>> imshow(A);
六、利用矩阵运算实现图形的几何变换
1.二维图形变换
2、二维图形组合变换
3、plot函数
（1）plot（Y）
如果Y 是向量，则以向量的索引为横坐标，以向量元素值为纵坐标绘制图形，以直线段顺序连接各点；如果 Y 是矩阵，则绘制 Y 的各列；如果 Y是复向量，则以复数的实部为横坐标，虚部为纵坐标绘制图形
（2）plot(x,y)
命令中的 x 和y 可以为向量和矩阵，当x和y的结构不同时，有不同的绘制方式。
–x、y 均为 n 维向量时，以x 的元素为横坐标，y 的元素为纵坐标绘制图形。
–x 为 n 维向量，y 为m×n 或 n×m 矩阵时，以 x 的元素为横坐标，绘制 y 的 m 个n 维向量。
–x、y 均为 m×n 矩阵时，以x 的各列为横坐标，y 的对应列为纵坐标绘制图形。
（3）plot(x,y,LineSpec)
该命令中加入了 LineSpec参数，用于对图形外观的控制，包括线条的形状、颜色和点的形状、颜色。该参数的常用设置选项如表所示。
（4）图形的比例变换
其中a代表横坐标放大的系数，d代表纵坐标放大的系数
例1：由（1，2）、（4，5）、（3，6）三点组成的三角形，将其横坐标和纵坐标同时放大2倍，求所得三角形的三点坐标。
>>x=[1;4;3;1]; %将第一个坐标在末尾重复写一遍表示图形闭合
>>y=[2;5;6;2];
>>A=[x y];
>>C=[2 0;0 2]; %C为变换矩阵，使得其横纵坐标同时变为2倍
>>B=A*C;
>>a=B(:,1);
>>b=B(:,2);
>> plot(x,y,‘:‘,a,b) %显示两个图形的对比状态
（5）图形的对称变换
A）对称x轴
变换矩阵为：
B）对称Y轴
变换矩阵为：
C）对称坐标原点
变换矩阵为：
（6）图形的旋转变换
图形在平面上绕坐标原点逆时针旋转 角，图形发生旋转变换。
变换矩阵为：
注意：变换角度单位为弧度角！
变换为：
例：由（1,2）、（4，5）、（3，6）三点组成三角形，求将其逆时针旋转45弧度角后所得的图形。
x=[1;4;3;1];
y=[2;5;6;2];
A=[xy];
C=[cos(45)sin(45);-sin(45) cos(45)];
B=A*C;
a=B(:,1);
b=B(:,2);
plot(x,y,‘:‘,a,b)
（7）平移变换
将图形沿X方向移动距离m，沿Y方向移动距离n，图形形状保持不变，图形各点的坐标分别增加了平移量m和n。
平移变换的矩阵运算表示为 :
例：由（1,2）、（4，5）、（3，6）三点组成三角形，求将其横坐标向右平移4，纵坐标向上平移5后所得的图形。
x=[1;4;3;1];
y=[2;5;6;2];
z=[1;1;1;1];
A=[x y z];
C=[1 00;0 1 0;4 5 1];
B=A*C;
a=B(:,1);
b=B(:,2);
plot(x,y, ‘:‘,a,b)
（8）综合应用
例：由（0，0）、（2，0）、（1，2）三点组成三角形，将其各点坐标沿轴向上平移4后，再绕坐标原点逆时针旋转45弧度后，求所得的图形。
x=[0;2;1;0];
y=[0;0;2;0];
z=[1;1;1;1];
A=[x yz];
C=[1 0 0;0 1 0;0 4 1];
D=[cos(45)sin(45) 0;-sin(45) cos(45) 0;0 0 1]; %如果进行了平移变化后，再进行旋转变换时，注意将旋转变化的矩阵的阶数提高，第一第二列补0，第三列为0 0 1
E=C*D;
B=A*E;
a=B(:,1);
b=B(:,2);
plot(x,y, ‘:‘,a,b)
七、Hill加密算法
1、基本步骤
加密：
（1）将明文信息分组，每组s个数值，组成n组明文向量
（2）选定一个加密密钥，其阶数为s，将这个密钥分别左乘每个数值矩阵
（3）对矩阵进行模26运算，得到密文向量
例：
解密：
即将密文按同样方式分组，用逆矩阵对其进行处理，对出现的负值加上26得到明文向量
>>x1=[19;20;21]; %密文1
>>x2=[4;25;13]; %密文2
>>x3=[1;20;8]; %密文3
>>A=[1 2 3;1 1 2;0 1 2] %加密密钥
>>det(A) %求矩阵的行列式，判断是否可逆
ans = -1
>>B=inv(A) %B是A的逆
>>X1=A*x1;
>>X2=A*x2;
>>X3=A*x3;
>>y1=mod(X1,26)
>>y2=mod(X2,26)
>>y3=mod(X3,26)
>>x1=B*y1
>>x2=B*y2
>>x3=B*y3
最后，生成明文信息。MATLAB代码如下：
>> x1=mod(x1,26)
>>x2=mod(x2,26)
>>x3=mod(x3,26)
注意：要根据密码表的总数来确定模除法的数值
作者：xuan97916
参考资料： [1]王艳君,赵明华,李文斌，线性代数实验教程[M],清华大学出版社，2011.12
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