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KPCA，中文名称”核主成分分析“，是对PCA算法的非线性扩展，言外之意，PCA是线性的，其对于非线性数据往往显得无能为力，例如，不同人之间的人脸图像，肯定存在非线性关系，自己做的基于ORL数据集的实验，PCA能够达到的识别率只有88%，而同样是无监督学习的KPCA算法，能够轻松的达到93%左右的识别率（虽然这二者的主要目的是降维，而不是分类，但也可以用于分类），这其中很大一部分原因是，KPCA能够挖掘到数据集中蕴含的非线性信息。
今天突然心血来潮，想重新推导一下KPCA的公式，期间遇到了几个小问题，上博客查阅，发现目前并没有一个专注于KPCA公式推导的文章，于是决定写一篇这样的博客（转载请注明：http://blog.csdn.NET/wsj998689aa/article/details/40398777）。
KPCA的公式推导和PCA十分相似，只是存在两点创新：
1. 为了更好地处理非线性数据，引入非线性映射函数
2. 引入了一个定理：空间中的任一向量（哪怕是基向量），都可以由该空间中的所有样本线性表示，这点对KPCA很重要，我想大概当时那个大牛想出KPCA的时候，这点就是它最大的灵感吧。话说这和”稀疏“的思想比较像。
假设中心化后的样本集合X（d*N，N个样本，维数d维，样本”按列排列“），现将X映射到高维空间，得到
于是乎！假设D（D >> d）维向量
和PCA太像了吧？这个时候，在利用刚才的定理，将特征向量
然后，在把
进一步，等式两边同时左乘
你可能会问，这个有啥用？
这样做的目的是，构造两个
第二个等号，是源于核函数的性质，核函数比较多，有如下几种：
于是，公式进一步变为如下形式：
两边同时去除K，得到了PCA相似度极高的求解公式：
求解公式的含义就是求K最大的几个特征值所对应的特征向量，由于K为对称矩阵，所得的解向量彼此之间肯定是正交的。
但是，请注意，这里的
这时有的朋友可能会问，这个时候，如果给定一个测试样本
是这样的，既然我们可以得到高维空间的一组基
于是呼~就可以对
做了一些仿真实验，分别比较了PCA与KPCA之间的效果，KPCA基于不同核函数的效果，二者对于原始数据的要求，以及效果随着参数变化的规律。
1）下面展示的是“无重叠的”非线性可分数据下，PCA与KPCA（基于高斯核）的区别，注意，原始数据是二维数据，投影之后也是二维数据
2）下面展示的是“部分重叠的”非线性可分数据下，PCA与KPCA的区别
3）下面展示的是“无高斯扰动的”非线性可分数据下，PCA与KPCA的区别
4）下面展示的是上述三类数据下，基于多项式核函数的KPCA效果
5）下面展示的是在“部分重叠的”非线性可分数据下，基于多项式核函数的KPCA在不同多项式参数下的效果图
1 function [eigenvalue, eigenvectors, project_invectors] = kpca(x, sigma, cls, target_dim) 2 % kpca进行数据提取的函数 3 psize=size(x); 4 m=psize(1); % 样本数 5 n=psize(2); % 样本维数 6 7 8 % 计算核矩阵k 9 l=ones(m,m); 10 for i=1:m 11 for j=1:m 12 k(i,j)=kernel(x(i,:),x(j,:),cls,sigma); 13 end 14 end 15 16 17 % 计算中心化后的核矩阵 18 kl=k-l*k/m-k*l/m+l*k*l/(m*m); 19 20 21 % 计算特征值与特征向量 22 [v,e] = eig(kl); 23 e = diag(e); 24 25 26 % 筛选特征值与特征向量 27 [dump, index] = sort(e, ‘descend‘); 28 e = e(index); 29 v = v(:, index); 30 rank = 0; 31 for i = 1 : size(v, 2) 32 if e(i) < 1e-6 33 break; 34 else 35 v(:, i) = v(:, i) ./ sqrt(e(i)); 36 end 37 rank = rank + 1; 38 end 39 eigenvectors = v(:, 1 : target_dim); 40 eigenvalue = e(1 : target_dim); 41 42 43 % 投影 44 project_invectors = kl*eigenvectors; %计算在特征空间向量上的投影 45 end
function [eigenvalue, eigenvectors, project_invectors] = kpca(x, sigma, cls, target_dim) % kpca进行数据提取的函数 psize=size(x); m=psize(1); % 样本数 n=psize(2); % 样本维数 % 计算核矩阵k l=ones(m,m); for i=1:m for j=1:m k(i,j)=kernel(x(i,:),x(j,:),cls,sigma); end end % 计算中心化后的核矩阵 kl=k-l*k/m-k*l/m+l*k*l/(m*m); % 计算特征值与特征向量 [v,e] = eig(kl); e = diag(e); % 筛选特征值与特征向量 [dump, index] = sort(e, ‘descend‘); e = e(index); v = v(:, index); rank = 0; for i = 1 : size(v, 2) if e(i) < 1e-6 break; else v(:, i) = v(:, i) ./ sqrt(e(i)); end rank = rank + 1; end eigenvectors = v(:, 1 : target_dim); eigenvalue = e(1 : target_dim); % 投影 project_invectors = kl*eigenvectors; %计算在特征空间向量上的投影 end
解释一下核主成分分析(Kernel Principal Component Analysis, KPCA)的公式推导过程（转载）
标签：去除 tor 关系 观察 部分 bsp 识别 一个 fill
原文地址：http://www.cnblogs.com/hezhiyao/p/7091055.html
