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最小生成树问题
这里介绍最小生成树（Minimum Spanning Tree）问题
所谓生成树，就是对于一个完全连通的带权无向图，用 V-1 条边连接
V 个顶点而形成的树，即为该图的生成树，如上图所示
而在所有的生成树中，边上的权值相加最小的生成树，即为最小生成树，
如何找到一张图中的最小生成树，就是最小生成树问题
「最小生成树是一副连通加权无向图中一棵权值最小的生成树」
最小生成树问题，在实际生活中有很多应用，如：电缆的布线设计
通过发电站将电输送到每一个节点，其实并不需要每两个节点之间
都有电缆连接，只需要保证每个节点都有电即可。这种情况下，电
缆布线的最优设计就是找到这张图的最小生成树，让布置电缆的总
费用最低
即 最小生成树提供了一个各个节点之间均连通，同时连通的总费用
又最小的方案
对于最小生成树问题，通常针对的是连通带权无向图，所以最小生
成树必须要带权，不然就没有最小的概念了
如果一个图不连通，也可以分别在每个连通分量上求各自的最小生
成树，最后得到的通常叫做 最小生成森林
将最小生成树问题抽象出来，即 在有 V 个顶点的连通带权无向图
中找V-1 条边，这 V-1 条边必须将 V 个顶点连接起来，且使得最
终的总权值最小
1）找 V-1 条边
2）连接 V 个顶点
3）总权值最小
切分定理
实现最小生成树的 Prim 算法和 Kruskal 算法都不约而同的应用了
切分定理（Cut Property）
在介绍切分定理之前，首先应该知道什么叫做切分。把图中的顶点
分为两部分，称为这张图的一个切分（Cut）
当定义了一个图的切分之后，就可以得到一个新的概念：
如果一条边的两个端点，属于切分不同的两个阵营，就称
这条边为横切边（Crossing Edge）
切分定理：
给定任意切分，横切边中权值最小的边必然属于最小生成树
如：在下图的切分中，横切边 0-7 是权值最小的边，权值为
0.16，所以 0-7 一定是这张图的最小生成树中的一条边
切分定理的简单证明：
前提：切分将一个图分成了两部分，中间用横切边进行连接。
根据切分定理可知，横切边中权值最小的边，一定属于最小
生成树
反证法：
令三条横切边分别为 e、f、g，且 e 为权值最小的横切边，
T 为图的最小生成树
假设 T 包含 f，而不包含 e，那么如果将 e 加入 T，那么
e 和 f 就必然形成了环，不再是生成树
显然，e 的权值小于 f，那么用 e 替换 f 就可以形成一个
权值小于 T 的生成树，与 T 为最小生成树矛盾
【made by siwuxie095】
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原文地址：http://www.cnblogs.com/siwuxie095/p/7124296.html
