标签:des style blog color os io 使用 strong ar
在一个由n个元素组成的集合中,第i个顺序统计量(order statistic)是该集合中第i小的元素。用非形式化的描述来说,一个中位数(median)使它所属集合的“中点元素”。当n为奇数时,中位数是唯一的,位于i=(n+1)/2处。当n为偶数时,存在两个中位数,分别位于i=n/2和i=n/2+1处。因此不考虑n的奇偶性,中位数总是出现在i=floor((n+1)/2)处(下中位数)与i=ceil((n+1)/2)处(上中位数)。
本章将讨论一个由n个互异的元素构成的集合中选择第i个顺序统计量的问题。将这一问题形式化定义为如下的选择问题:
输入:一个包含n个(互异)数的集合A和一个整数:1<=i<=n。
输出:元素x属于A,且A中恰有i-1个其他元素小于它。
1. 最大值和最小值
在一个有n个元素的集合中,通过n-1次比较可找到其中的最小值。代码如下:
1 int Minimum(int A[], int n) { 2 int min = A[1]; 3 int i; 4 5 for (i=2; i<=n; ++i) 6 if (min > A[i]) 7 min = A[i]; 8 return min; 9 }
采用同样的方式,可通过2n-2次比较同时找到最大值和最小值。而事实上,仅需3*floor(n/2)次比较就可以找到最小值和最大值。即先成对比较后,用两者的较小值与最小值比较,用两者的较大值与最大值比较。这样,每对元素共需三次比较。
而对于最小值与最大值的初始值依赖于n是奇数还是偶数。若n是奇数,将最大值和最小值都设为第一个元素的值,然后成对的处理余下元素;若n为偶数,先对首对元素比较,两者的较小值作为最小值的初始值,两者的较大值作为最大值的初始值。
若n为奇数,进行3*floor(n/2)次比较;若n为偶数,进行3n/2-2次比较。总的比较次数至多为3*floor(n/2)。代码实现如下:
1 static int min, max; 2 void MinAndMax(int A[], int n) { 3 int lt, gt; 4 int i; 5 6 if (n & 1) { 7 min = A[1]; 8 max = A[1]; 9 i = 2; 10 } else { 11 min = A[1]<A[2] ? A[1]:A[2]; 12 max = A[1]+A[2]-min; 13 i = 3; 14 } 15 16 for (; i<=n; i+=2) { 17 if (A[i] < A[i+1]) { 18 lt = A[i]; 19 gt = A[i+1]; 20 } else { 21 lt = A[i+1]; 22 gt = A[i]; 23 } 24 if (min > lt) min = lt; 25 if (max < gt) max = gt; 26 } 27 }
9.1-1 证明:在最坏情况下,找到n个元素中第二小的元素需要n+ceil(lgn)-2次比较。
证明:首先考虑找最小元素。采用两两成对比较,对筛选得到的最小值再成对比较,直到比较出唯一的最小值。如下图所示
因为1是最小值,所以第二小元素一定是那些作为根结点的最小值的叶子结点之一(另外一个叶子一定为它本身)。经过n-1次比较可以找到最小值,而又因为二叉树的叶子为元素n,则2^h<=n,故h<=ceil(lgn),因为找到最小值后,需要针对最小值经过的结点的叶子结点进行比较得到第二小元素。因此,后续的比较次数为h-1,故总的比较次数为
T(n) = n-1+h-1 = n+h-2 = n+ceil(lgn)-2。
9.1-2 证明:在最坏情况下,同时找到n个元素中最大值和最小值的比较次数的下界时ceil(3n/2)-2。
证明:采用成对比较的方法,需要经过floor(n/2)次比较可以得到每一对儿元素的关系,每对元素中的较大值可能为最大值,每对元素中的较小值可能成为最小值。考虑奇偶性,可知经过预比较外,存在ceil(n/2)个元素可能成为最大值,存在ceil(n/2)个元素可能成为最小值。因此作为最大值最小值的候选元素,可通过ceil(n/2)-1次比较得到最大值或最小值。因此最坏情况下,总的比较次数T(n) >= floor(n/2) + ceil(n/2)-1 + ceil(n/2)-1。
所以T(n) >= (floor(n/2) + ceil(n/2) )+ ceil(n/2)-2,而n = floor(n/2) + ceil(n/2),所以
T(n) >= n + ceil(n/2) - 2,因为n为整数,故n + ceil(n/2) = ceil(n+n/2) = ceil(3n/2),所以
T(n) >= ceil(3n/2) - 2,所以下界为ceil(3n/2) - 2。
2. 期望为线性时间的选择算法
解决一般选择问题的RANDOMIZED-SELECT算法以快速排序为模型。不同点是,快速排序会递归处理划分的两遍,而RANDOMIZED-SELECT仅会递归处理划分的一边。这一差异在性能分析中体现出来,快速排序的期望运行时间为theta(nlgn),而RANDOMIZED-SELECT的期望运行时间为theta(n)。
RANDOMIZED-SELECT算法返回数组A[p..r]中的第i小元素。代码实现如下:
1 int Randomized_Select(int A[], int p, int r, int i) { 2 int q, k; 3 4 if (p == r) 5 return A[p]; 6 q = Randomized_Partition(A, p, r); 7 k = q-p+1; 8 if (i == k) 9 return A[q]; 10 else if (i < k) 11 return Randomized_Select(A, p, q-1, i); 12 else 13 return Randomized_Select(A, q+1, r, i-k); 14 }
9.2-1 证明:在RANDOMIZED-SELECT中,对长度为0的数组,不会进行递归调用。
证明:说实话,貌似真心可能会递归调用,取决于i。
9.2-3 给出RANDOMIZED-SELECT的一个基于循环的版本。
代码如下:
1 int Randomized_Select(int A[], int p, int r, int i) { 2 int q, k; 3 4 if (p == r) 5 return A[p]; 6 do { 7 q = Randomized_Partition(A, p, r); 8 k = q - p + 1; 9 if (i == k) 10 return A[q]; 11 else if (i < k) { 12 r = q - 1; 13 } else { 14 p = q + 1; 15 i -= k; 16 } 17 } while (1); 18 }
3. 最坏情况为线性时间的选择算法
SELECT算法是最坏情况运行时间为O(n)的选择算法,如同RANDOMIZED-SELECT算法一样,SELECT算法通过对输入数组的递归划分来找出所需元素。SELECT算法使用的也是来自快速排序的确定性划分PARTITION,但做了修改,把划分的主元也作为输入参数(以下成为PARTITIONX)。
通过执行下列步骤,算法SELECT可以确定一个有n>1个不同元素的输入数组中第i小的元素。(若n=1,则SELECT只返回它的唯一输入数值作为第i小的元素。)步骤如下:
(1)将输入数组的n个元素划分为floor(n/5)组,每组5个元素,且至多只有一组由剩下的n%5个元素组成;
(2)寻找这ceil(n/5)组中每一组的中位数,首先对每组元素进行插入排序,然后确定每组有序元素的中位数;
(3)对第2步中找出的ceil(n/5)个中位数,递归调用SELECT以找出其中位数x(如果有偶数个中位数,约定x是较小的中位数);
(4)利用PARTIONX,按中位数的中位数x对输入数组进行划分。让k比划分的低区中的元素多1,因此x是第k小的元素,并且有n-k个元素在高区。
(5)如果i=k,则返回x。如果i<k,则在低区递归调用SELECT来找出第i小的元素;如果i>k,则在高区递归调用SELECT找出第i-k小的元素。
代码实现如下:
1 int Select(int A[], int p, int r, int i) { 2 int M[MAXN/5+2], m = 0; // M[]: store median, m: number of medians 3 int x, k, q; // x: median of M[] 4 int j, n = 5; 5 6 if (p == r) 7 return A[p]; 8 9 for (j=p; j<=r; j+=5) { 10 if (j+4 > r) { 11 n = r-j+1; 12 } 13 InsertionSort(A+j-1, n); // Sort 14 M[++m] = A[j+(n-1)/2]; // then Add the median into M 15 } 16 x = Select(M, 1, m, (m+1)/2); 17 q = PartitionX(A, p, r, x); 18 k = q - p + 1; 19 if (i == k) 20 return x; 21 else if (i < k) 22 return Select(A, p, q-1, i); 23 else 24 return Select(A, q+1, r, i-k); 25 }
算法难以理解的地方是借用中位数的中位数,如下图
在第(2)步找出的中位数中,至少有一半大于或等于中位数x。因此在这ceil(n/5)个子数组中,除了n不能被5整除产生的少于5个元素的组与中位数的中位数x所在组外,至少一半的组中有3个元素大于x,相反,至少有一半的组中有3个元素小于x。除上述两组外,大于x的元素个数至少为:
3*(ceil(1/2 * ceil(n/5)) - 2) >= 3n/10 - 6
同样,至少有3n/10-6个元素小于x。因此,在最坏情况下,SELECT的递归调用最多作用于7n/10+6个元素。
故T(n) <= T(ceil(n/5)) + T(7n/10+6) + O(n),可解得T(n) <= cn + (-cn/10+7c+an)
若-cn/10+7c+an <= 0时,T(n) <= cn,解此不等式:
当n>70时,c >= 10a(n/(n-70)),满足T(n) <= cn,T(n) = O(n)。
书中选择140代替边界70,则SELECT过程的时间复杂度满足
当n<140时,T(n) <= O(1);当n>=140时,T(n) <= T(ceil(n/5)) + T(7n/10+6) + O(n)。
因此,最坏情况下时间复杂度为O(n)。
9.3-1
证明: (1)每组7个元素,则4*(ceil(1/2 * ceil(n/7)) - 2) >= 2n/7-8,则至少有2n/7-8个元素大于x,同理,至少有
2n/7-8个元素小于x,则最坏情况下,SELECT递归调用最多作用于n-(2n/7-8)=5n/7+8个元素。因此,
T(n) <= T(ceil(n/7)) + T(5n/7+8) + O(n),当不等式-cn/7+9c+an<=0时,满足T(n)<=cn,此时n>=63,
则当n<63时,T(n)<=O(1);当n>=63时,T(n) <= cn。因此,T(n) = O(n)。
9.3-2
证明:大于x的元素个数为3*(ceil(1/2 * ceil(n/5)) - 2) >= 3n/10 - 6,即证明3n/10-6 >= ceil(n/4),
因为ceil(n/4) < n/4+1,转为证明当n>=140时,3n/10-6 >= n/4+1,令f(n) = (3n/10-6) - (n/4+1),
f(n) = n/20-7,当n>=140时,f(n) >= 0,则3n/10-6 >= n/4+1,因此得证。
9.3-3
解:核心思想是,每次先通过Select找到中位数x,然后通过PARTITIONX对数组进行划分。因为PARTITIONX与Select都是O(n),并且划分后x位于数组中间,因此每次划分都会平衡,可保证快速排序的运行时间为O(nlgn)。
代码实现如下:
1 void QuickSort(int A[], int p, int r) { 2 int x, q; 3 4 if (p < r) { 5 x = Select(A, p, r, (r-p+2)/2); 6 q = PartitionX(A, p, r, x); 7 QuickSort(A, p, q-1); 8 QuickSort(A, q+1, r); 9 } 10 }
9.3-4
证明:假设x是第i小元素,那么在有序排列中,第i-1小元素一定在x前一个,
同时,有n-i个元素大于x,那么第n-i大元素一定在x的后一个,则第i元素处在第i-1小元素与第n-i元素之间,
采用比较确定第i小的元素,一定通过第i小元素的前者第i-1小元素及它的后者第n-i大元素比较后才会确定,
因此,不需要额外的比较即可确定。
9.3-5
解:
Select(A, p, r, i):
if (p == r)
return A[p];
x = GetMedian(A, p, r);
q = PartitonX(A, p, r, x);
k = q - p + 1;
if (i == k)
return x;
else if (i < k)
return Select(A, p, q-1, i);
else
return Select(A, q+1, r, i-k);
上述过程时间复杂度为T(n) = T(n/2) + O(n),因此T(n) = O(n)。
9.3-6
解:
这道题目一定要搞清楚k分位是什么意思,可以理解成把元素分成k个子集(保证子集中元素个数相同)的那些分位点,共有k-1个分位点。算法的思想也是二分,每次都得到分位点的中位数x,然后对x左右两边的数组求解分位点。代码实现如下:
1 void PartitionK(int A[], int p, int r , int k, int kn, int B[], int Bp) { 2 int x, q; 3 4 if (k == 0) 5 return ; 6 7 x = Select(A, p, r, (k+1)/2*kn); 8 B[Bp+(k+1)/2] = x; 9 q = (Bp+(k+1)/2) * kn; 10 PartitionK(A, p, q, (k-1)/2, kn, B, Bp); 11 PartitionK(A, q+1, r, k/2, kn, B, Bp+(k+1)/2); 12 } 13 14 void K_Partition(int A[], int n, int k, int B[]) { 15 int kn; 16 17 if (n%k != 0) 18 return ; 19 kn = n/k; 20 PartitionK(A, 1, n, k-1, kn, B, 0); 21 }
9.3-7 设计一个O(n)时间的算法,对于一个给定的包含n个互异元素的集合S和一个正整数k<=n,该算法能确定S中最接近中位数的k个元素。
解:先通过Select从集合S中找到中位数x,同时引入辅助数组D,D的主元是S中各元素与x的差的绝对值,卫星数据是索引,从而通过Select找到D中的第k个元素,从而通过前k个元素的索引从D中获得最接近中位数x的k个元素。
从而T(n) = O(n)
9.3-8 设X[1..n]和Y[1..n]为两个数组,每个都包含有n个有序的元素。请设计一个O(lgn)时间的算法来找出数组X和Y中所有2n个元素的中位数。
解:思想还是二分,代码实现如下:
1 int GetMedian(int X[], int Y[], int n) { 2 int mx, my; 3 4 if (n == 1) 5 return X[1]<Y[1] ? X[1]:Y[1]; 6 mx = Select(X, 1, n, (n+1)/2); 7 my = Select(Y, 1, n, (n+1)/2); 8 if (mx == my) 9 return mx; 10 else if (mx < my) 11 return GetMedian(X+n/2, Y, (n+1)/2); 12 else 13 return GetMedian(X, Y+n/2, (n+1)/2); 14 }
9.3-9
解:这题目就是小学奥数,即通过X、Y的中位数确定最有位置。而中位数可以通过Select过程在O(n)内确定。
标签:des style blog color os io 使用 strong ar
原文地址:http://www.cnblogs.com/bombe1013/p/3945987.html