如何解决困难问题

这篇文章来自陶哲轩教授的博客的一篇文章：“Does one have to be a genius to do maths?"。一年前我曾经分享过一次这篇文章的英文原版并且当时很想能写一份这个文章的中文翻译。由于本人的英文水平和中文写作水平的限制和平常“懒散的忙碌”，直到现在趁着刚放假才把这篇精彩文章的翻译贴出来。翻译后有本人结合自己平时做数学的感悟和经验教训而写的一些文字，望大家赏阅。

英文原文见这里：http://terrytao.wordpress.com/career-advice/does-one-have-to-be-a-genius-to-do-maths/

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一定要是天才才能做数学吗？

对于标题的答案当然是一个不容置疑的“不”字！但是为了对数学这个学科做出一些好的，有用的贡献，人们必须要刻苦学习； 要对自己所研究的数学领域的知识有着精准的，深刻的理解；也要了解一些其他数学领域的知识和工具；要多问问题，多与其他数学研究者交流；更要在整体的理念上思考数学。不过当然，合理水平的才智，足够的耐心，以及心智上的成熟也是必须的。但是，数学工作者并不需要一些什么天生神奇的“天才”基因，天生的洞察能力，出人意料的解决问题的灵感，或者什么“超人般”的能力。

人们对数学家总有这样一个错误的认识：这些人都是孤单，远离大众的（甚至有是疯狂的）天才。他们不参考前人的文献，不按常规的，传统的方式思考；他们能够获得无法解释的灵感（或者在痛苦的研究和挣扎后突然头脑风暴而获得灵感），然后用这灵感解决掉一些另所有的专家都一筹莫展，束手无策的问题。这确实是个浪漫的，吸引人的形象，可是也是一个非常不准确的形象。当然，在数学领域里，我们的确有很多令人惊叹的，深刻的，非凡的结论和理念。但是这些成就都是经过几年，几十年，甚至几个世纪，在很多优秀的，伟大的数学家的不断努力之下一点点积攒出来的。从一个层次的知识理解水平进步到另一个层次的知识理解水平确实是非常困难和复杂的，有些时候甚至是出人意料的成就。但是无论如何，这些成就也都是建立在前人工作的基础和理念之上，并不是纯粹全新的内容。（比如，怀尔斯 证明费马最后定理，佩雷尔曼 证明庞加莱猜想。）

我发现现实中数学研究的成果就是靠一点点直觉，大量的文献参考，一点点运气，然后在大量连续不断的刻苦的工作中慢慢的积累而最终获得。事实上，我觉得这种现实中的情况比前面所描述的“浪漫的”情景更令我满足。虽然在我做学生的时候，也曾经以为数学的发展主要是靠一些神秘的灵感和少数的天才。其实，这种“天才的神话”是会产生很大量的问题的。 因为没有任何人能够定期的，定量的产生这种神秘的，极其少量的灵感；而且甚至很难保证这些灵感的正确性（如果有人说能够做到这些，我建议大家要持怀疑态度）。并且，过度相信灵感还会产生另一些问题：一些人会过度投身于一些所谓的“大问题”，“大理论”中；一些人会丧失对自己的工作和所用的工具的合理性的怀疑态度，而这些合理的怀疑是很重要的；还有一些人会在数学研究上变的极端不自信。而且，去试图依靠灵感（这根本不是你可以控制的），而不是靠努力的学习，合理的计划，好的教育（这才是你可以控制的）去获得成功还会导致一些其他的问题。

当然了， 就算我们忽略使用“天才”这样的词汇，我们确实会发现在给定的时间，和别人相比，一些数学家能更快的获得成果，他们更加富有经验，知道更多的知识，更具有效率，更仔细 ，或者更加具有创造性。但是，这些不能证明只有“最好”的数学家才能做数学。这是一个很普遍的关于绝对优势和相对优势的错误观念。数学研究的领域非常之广大，只靠所谓的“最好”的数学家是绝对不可能全部研究到的。而且有的时候，你自己的一些的想法和理论却是一些优秀的数学家所忽视的，特别是这些优秀的数学家们也会在某些数学领域上有着不可避免的弱点。只要你受过教育，有着去学数学的热情，再加上一些合理的才智，你就一定能在某个数学的方面做出重要的贡献。你的贡献也许不是数学里最“迷人的”的地方，但是却是最合理的，正常的部分。在很多情况下，往往一些现在看来枯燥的，没有意义的领域，在将来会比一些现在看上去很漂亮的领域更加具有意义。而且，在一个领域中先做一些平淡的工作是很有必要的，直到真正有机会和有能力的时候，再去解决那些所谓的重大的难题。去看一下那些现在很伟大的数学家们“未出道”之前的论文，你就明白我的意思了。

事实上，大量的灵感反而会对长期的数学发展产生不利的影响。想像一下如果一个人太容易就解决了问题，那他可能就不再那么努力学习，不会去问一些“傻”的问题，不会去试图扩展自己的知识领域，这样最终会导致此人就此止步不前。而且，如果一个人习惯了轻松的成功，那他就不能发展出解决真正困难问题所需要耐心。聪明才智确实重要，但是如何发展和培养自身却更加的重要。

记着，做专业数学研究不是一项比赛。数学研究的目的不是去取得最高得评价，得到最高得分数，或者获得多少个奖项。做数学其实是为了不断加深对数学的理解，最终能有能力为这门伟大的学科的发展和应用做出自己的一份贡献。为了这个任务，数学需要所有有兴趣的同学们去为之拼搏！

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下面是本人的一点感想：

确实，做数学不是一朝一夕的事情，做数学研究更是，不光是数学，相信其他学科的兄弟也有这样的感受。感觉自己学了这么久的数学，直到现在才勉强算一个初窥门径的学徒。想当时大一大二疯狂的刷遍了数学系几乎所有的分析课，但还是“啥啥”都不懂，甚至高中的时候曾经还梦想过大学自己要解决个什么所谓的“数学10大猜想”，现在再想想，也就是脸上的一丝会心的，顽皮的笑而已。

不过过了这两年做简单数学研究的过程，我才也许算初步的明白了，什么是学数学，什么是做数学。一个定理的证明，绝对不是一个单一的过程，更不是所谓的一夜通宵而熬出的结果。反之，却是大量的文献阅读和大量的经验积累而产生的。回头看自己写的每一篇证明里面所用的技巧，所包含的理念，总是可以在一些以前别人的论文里面所找到。但是这却又不是抄袭，而是一种经验的融合，一种经验的升华。这才是做研究所真正得到的，无价的财宝。The basis for mathematical discovery is the ability to comprehend the unlike in the like and the like in the unlike. 正如陶哲轩教授文章里面所指，这就是一个积累的过程而已。

创造，是奠基在“我们有什么”和“我们需要什么”上面的。

其实一个人在做数学研究中的成长就像一个“数学归纳法”的过程。开始，用自己从课堂上学来的经验和看来的文献产生自己第一篇“证明”，然后用自己第一篇“证明”的经验，再加上以前的经验，产生出新的“证明”，新的经验。如此反复，最终必然可以得到自己想要的数值，因为这个过程的结果是正无穷嘛～

正如文章中所说：“只要你受过教育，有着去学数学的热情，再加上一些合理的才智，你就一定能在某个数学的方面做出重要的贡献”。 我很喜欢这句话，也一直做着自己能做的“贡献”。

祝大家好运！