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培训补坑(day4:网络流建模与二分图匹配)

时间:2017-07-15 14:54:07      阅读:110      评论:0      收藏:0      [点我收藏+]

标签:return   匈牙利   data   算法思想   没有   int   说明   最小   printf   

补坑时间到QAQ

好吧今天讲的是网络流建模与二分图匹配。。。

day3的网络流建模好像说的差不多了、(囧)

那就接着补点吧。。

既然昨天讲了建图思想,那今天就讲讲网络流最重要的技巧:拆点。

拆点,顾名思义,就是把一个状态拆成数个点以满足题目要求。

今天主要围绕一个例题来讲:修车。(虽然是丧题,但是却是网络流算法思想实现的典例)

——————————————————我是分割线——————————————————

题目:

同一时刻有位车主带着他们的爱车来到了汽车维修中心。维修中心共有M位技术人员,不同的技术人员对不同的车进行维修所用的时间是不同的。现在需要安排这M位技术人员所维修的车及顺序,使得顾客平均等待的时间最小。 说明:顾客的等待时间是指从他把车送至维修中心到维修完毕所用的时间。注:(2<=m<=9,1<=n<=60)

——————————————————我是分割线——————————————————

其实我一开始看到这题,我都没看出来这是网络流(真是太弱了)

然后我去网络上看了题解。

首先我们知道一个工人修一辆车就会让其余没有修过车的time增加,所以我们发现如果考虑第i个工人修第j辆车的话,会发现时间是不确定的。

但是如果我们倒着过来计算的话,那么我们就能够计算时间了。

所以我们将n个工人每一个分为m个点,表示第i个工人修倒数第j辆车,然后每一条边的费用就是time*j,表示等待的时间,从S到每一个点连边,从每一个点到T连边,然后我们跑最小费用最大流就好了。

对于费用流不懂的同学们可以去我的博客上看看。(暂时没写,以后补坑)

下面附上例题代码

#include<algorithm>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<iostream>
int ans;
int go[200005],tot,S,T,first[200005],next[200005],flow[200005];
int cost[200005],c[200005],edge[200005],from[200005],a[500][500];
int nodes,b[500][500],n,m,op[200005],dis[200005],vis[200005];
int read(){
    int t=0,f=1;char ch=getchar();
    while (ch<0||ch>9){if (ch==-) f=-1;ch=getchar();}
    while (0<=ch&&ch<=9){t=t*10+ch-0;ch=getchar();}
    return t*f;
}
void insert(int x,int y,int z,int l){
    tot++;
    go[tot]=y;
    next[tot]=first[x];
    first[x]=tot;
    flow[tot]=z;
    cost[tot]=l;
}
void add(int x,int y,int z,int l){
    insert(x,y,z,l);op[tot]=tot+1;
    insert(y,x,0,-l);op[tot]=tot-1;
}
bool spfa(){
    for (int i=0;i<=T;i++) dis[i]=0x3f3f3f3f,vis[i]=0;
    dis[S]=0;
    int h=1,t=1;
    c[1]=S;
    while (h<=t){
        int now=c[h++];
        for (int i=first[now];i;i=next[i]){
            int pur=go[i];
            if (flow[i]&&dis[pur]>dis[now]+cost[i]){
                dis[pur]=dis[now]+cost[i];
                from[pur]=now;
                edge[pur]=i;
                if (vis[pur]) continue;
                vis[pur]=1;
                c[++t]=pur;
            }
        }
        vis[now]=0;
    }
    return dis[T]!=0x3f3f3f3f;
}
void updata(){
    int mn=0x7fffffff;
    for (int i=T;i!=S;i=from[i]){
        mn=std::min(mn,flow[edge[i]]);
    }
    for (int i=T;i!=S;i=from[i]){
        flow[edge[i]]-=mn;
        flow[op[edge[i]]]+=mn;
        ans+=mn*cost[edge[i]];
    }
}
int main(){
    m=read();n=read();
    for (int i=1;i<=n;i++){
        for (int j=1;j<=m;j++){
            a[i][j]=read();
        }
    }
    S=0,T=n*m+n+1;
    for (int i=1;i<=n;i++)
     add(S,i,1,0);
    nodes=n;
    for (int i=1;i<=m;i++)
      for (int k=1;k<=n;k++)
       b[i][k]=++nodes,add(nodes,T,1,0);
    for (int i=1;i<=n;i++)
     for (int j=1;j<=m;j++)
      for (int k=1;k<=n;k++)
       add(i,b[j][k],1,k*a[i][j]);
    while (spfa()) updata();
    double Ans=(double)ans/n;
    printf("%.2f\n",Ans);    
}

接下来我们讲讲二分图匹配。

二分图匹配就是说有一个二层图,层数不同的两个点之间有一些边,问如何选取一些边,使得一个点只被一条边选中,而且边的个数最多(求最大匹配)

其中最主要的算法就是匈牙利算法,朴素而迅速。

我们上图。

技术分享

对于这个图我们先选到这一条边

 技术分享

然后我们找到下一个点,发现它连接的一条边的终点已经被选中了,所以我们试着让第一个点重新匹配一个没有被匹配过的节点

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然后我们找到第三个节点,发现可以匹配。

技术分享

当我们找到第四个节点时,发现它所对应的节点没有办法修改匹配,至此匈牙利算法结束,最大匹配为3

 而在我们进行匈牙利算法的时候有一些优化可以实现,比如如果一个点已经尝试匹配过,而且失败了,那么我们就不要尝试匹配了。(类似dfs减枝)

下面贴上算法

bool match(int u){
    S[u]=1;
    for(int i=head[u];i;i=g[i].next)
        if(!T[g[i].to]){
            T[g[i].to]=1;
            if(!lky[g[i].to]||match(lky[g[i].to])){
                lky[g[i].to]=u;lkx[u]=g[i].to;return true;
            }
        }
    return false;
}

注:现在起所有的算法如果我没有写例题我都只会列出核心代码,剩下的东西请视情况补充。QAQ

培训补坑(day4:网络流建模与二分图匹配)

标签:return   匈牙利   data   算法思想   没有   int   说明   最小   printf   

原文地址:http://www.cnblogs.com/ghostfly233/p/7168300.html

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