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康托展开-全排列应用

时间:2017-07-15 17:55:52      阅读:200      评论:0      收藏:0      [点我收藏+]

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我排第几个

时间限制:1000 ms  |  内存限制:65535 KB
难度:3
 
描述

现在有"abcdefghijkl”12个字符,将其所有的排列中按字典序排列,给出任意一种排列,说出这个排列在所有的排列中是第几小的?

 
输入
第一行有一个整数n(0<n<=10000);
随后有n行,每行是一个排列;
输出
输出一个整数m,占一行,m表示排列是第几位;
样例输入
3
abcdefghijkl
hgebkflacdji
gfkedhjblcia
样例输出
1
302715242
260726926

普及一下数学知识

康托展开

  康托展开的公式是 X=an*(n-1)!+an-1*(n-2)!+...+ai*(i-1)!+...+a2*1!+a1*0! 其中,ai为当前未出现的元素中是排在第几个(从0开始)。
  这个公式可能看着让人头大,最好举个例子来说明一下。例如,有一个数组 s = ["A", "B", "C", "D"],它的一个排列 s1 = ["D", "B", "A", "C"],现在要把 s1 映射成 X。n 指的是数组的长度,也就是4,所以
X(s1) = a4*3! + a3*2! + a2*1! + a1*0!
关键问题是 a4、a3、a2 和 a1 等于啥?
a4 = "D" 这个元素在子数组 ["D", "B", "A", "C"] 中是第几大的元素。"A"是第0大的元素,"B"是第1大的元素,"C" 是第2大的元素,"D"是第3大的元素,所以 a4 = 3。
a3 = "B" 这个元素在子数组 ["B", "A", "C"] 中是第几大的元素。"A"是第0大的元素,"B"是第1大的元素,"C" 是第2大的元素,所以 a3 = 1。
a2 = "A" 这个元素在子数组 ["A", "C"] 中是第几大的元素。"A"是第0大的元素,"C"是第1大的元素,所以 a2 = 0。
a1 = "C" 这个元素在子数组 ["C"] 中是第几大的元素。"C" 是第0大的元素,所以 a1 = 0。(因为子数组只有1个元素,所以a1总是为0)
所以,X(s1) = 3*3! + 1*2! + 0*1! + 0*0! = 20


A B C | 0
A C B | 1
B A C | 2
B C A | 3
C A B | 4
C B A | 5

通过康托逆展开生成全排列

  如果已知 s = ["A", "B", "C", "D"],X(s1) = 20,能否推出 s1 = ["D", "B", "A", "C"] 呢?
  因为已知 X(s1) = a4*3! + a3*2! + a2*1! + a1*0! = 20,所以问题变成由 20 能否唯一地映射出一组 a4、a3、a2、a1?如果不考虑 ai 的取值范围,有
3*3! + 1*2! + 0*1! + 0*0! = 20
2*3! + 4*2! + 0*1! + 0*0! = 20
1*3! + 7*2! + 0*1! + 0*0! = 20
0*3! + 10*2! + 0*1! + 0*0! = 20
0*3! + 0*2! + 20*1! + 0*0! = 20
等等。但是满足 0 <= ai <= n-1 的只有第一组。可以使用辗转相除的方法得到 ai,如下图所示:
技术分享
知道了a4、a3、a2、a1的值,就可以知道s1[0] 是子数组["A", "B", "C", "D"]中第3大的元素 "D",s1[1] 是子数组 ["A", "B", "C"] 中第1大的元素"B",s1[2] 是子数组 ["A", "C"] 中第0大的元素"A",s[3] 是子数组 ["C"] 中第0大的元素"C",所以s1 = ["D", "B", "A", "C"]。
这样我们就能写出一个函数 Permutation3(),它可以返回  s 的第 m 个排列。

前面的内容从http://archive.cnblogs.com/a/2026276/转载

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
using namespace std;
long long fact[13];
char str[15];


int main()
{
    memset(fact,0,sizeof(fact));
    fact[0]=1;
    for(int i=1;i<=12;i++)
    {
        fact[i]=fact[i-1]*i;
    }
    int t;
    cin>>t;
    getchar();
    while(t--)
    {
        gets(str);
        long long sum=0;
        int len=strlen(str);
        for(int i=0; str[i]; i++)
        {
            int cnt=0;
            for(int j=i+1; str[j]; j++)
            {
                if(str[i]>str[j])
                {
                    cnt++;
                }
            }
            sum+=cnt*fact[len-1-i];
        }
        cout<<sum+1<<endl;
    }
    return 0;
}

康托展开-全排列应用

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原文地址:http://www.cnblogs.com/yzm10/p/7183430.html

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