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EX-GCD

时间:2017-07-16 20:47:40      阅读:201      评论:0      收藏:0      [点我收藏+]

标签:扩展欧几里德   color   item   拓展欧几里得   百度   exgcd   扩展   log   lan   

拓展欧几里得算法,由欧几里得算法(辗转相除法)得来。

先介绍欧几里得算法:

求两个数的最大公约数,根据简单的证明(就不证了)可得:

gcd(a,b)==gcd(b,a%b);

所以可以写出代码:

int gcd(int a,int b)
{
    return b?gcd(b,a%b):a;
}

 

接下来是拓展欧几里得算法:

首先我们需要知道gcd(a,b)==gcd(b,a%b)==gcd(b,a-(a/b)*b);

其中gcd(b,a%b)==gcd(b,a-(a/b)*b)是怎么得到的呢?

不妨设a>b

a=b*x+y;

->y=a%b

->x=a/b

即可证

接下来有百度百科可得:’‘扩展欧几里德算法是用来在已知a, b求解一组x,y使得ax+by = Gcd(a, b) =d(解一定存在,根据数论中的相关定理)。扩展欧几里德常用在求解模线性方程及方程组中。”

故可得方程:ax+by=gcd(a,b);

然后是百度百科的内容:

求解 x,y的方法的理解
设 a>b。
1,显然当 b=0,gcd(a,b)=a。此时 x=1,y=0;
2,a>b>0 时
设 ax1+ by1= gcd(a,b);
bx2+ (a mod b)y2= gcd(b,a mod b);
根据朴素的欧几里德原理有 gcd(a,b) = gcd(b,a mod b);
则:ax1+ by1= bx2+ (a mod b)y2;
即:ax1+ by1= bx2+ (a - [a / b] * b)y2=ay2+ bx2- [a / b] * by2;
也就是ax1+ by1 == ay2+ b(x2- [a / b] *y2);
根据恒等定理得:x1=y2; y1=x2- [a / b] *y2;
这样我们就得到了求解 x1,y1 的方法:x1,y1 的值基于 x2,y2.
上面的思想是以递归定义的,因为 gcd 不断的递归求解一定会有个时候 b=0,所以递归可以结束。”
接下来是代码:
int exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
    if(!b)
    {
        x=1;
        y=0;
        return a;
    }
    int r=exgcd(b,a%b,x,y);
    int t=x;
    x=y;
    y=t-a/b*y;
    return r;
}

 

EX-GCD

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原文地址:http://www.cnblogs.com/gshdyjz/p/7191658.html

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