[Codevs] 1523 地精部落

输入仅含一行，两个正整数 N,P。 

输出仅含一行，一个非负整数，表示你所求的答案对P取余之后的结果。

4 7

3

共有10 种可能的山脉，它们是：
1324 1423 2143 2314 2413
3142 3241 3412 4132 4231 

【数据规模和约定】
对于 20%的数据，满足 N≤10；
对于 40%的数据，满足 N≤18；
对于 70%的数据，满足 N≤550；
对于 100%的数据，满足 3≤N≤4200，P≤10⁹。

分析 Analysis

我相信这道题一定有组合数学的解法（然而我自己找不到）

主流解法动态规划。

首先用DP[i][j]表示一种状态的方案数，该状态的数集有i个数（可以意淫为1~i），其中该状态子序列的第一个数取值范围为1~j

PS：这么意淫的前提是题目明确说明山峰高度是1~n的排列，因此显然1~(j-1)均小于j

同时约定表示所代表的方案均为A₁ < A₂也就是开头呈上升趋势，因此有DP[i][j] = DP[i][j-1]+DP[i-1][i-j]

DP[i][j-1]表示同样的状态下序列中第一个数取值范围为1~(j-1)时的方案数

DP[i-1][i-j]表示取走一个数之后的状态，此时数集中只剩i-1个数，而此时序列的第二个数范围必为j+1 ~ i，共i-j个数（因为已经约定序列开头上升了，所以第二个数必须比j大）

PS：我写这篇博客唯一的目的就是好好解释清楚这个转移方程

代码 Code

 1 #include<cstdio>
 2 #include<iostream>
 3 #include<cstring>
 4 using namespace std;
 5 
 6 int dp[5000][5000];
 7 
 8 int main(){
 9     
10     int n;
11     scanf("%d",&n);
12     
13     dp[1][1] = 1;
14     for(int i = 2;i <= n;i++){
15         for(int j = 1;j <= i;j++){
16             dp[i][j] = dp[i][j-1]+dp[i-1][i-j];
17         }
18     }
19     
20     printf("%d",dp[n][n]);
21     
22     return 0;
23 }

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