标签：span nbsp tab 素数 并且 证明 element 筛法 简化
莫比乌斯反演在许多情况下可以简化运算。
定理：F（n）和f（n）是定义在非负整数集合上的两个函数，并且满足条件F(n)=∑d|n f(d)。
附：∑d|n 的意思是对所有n的因子d求和。
那么，我们得到结论：
f(n)=∑d|n μ(d)F(n/d)
在上面的公式中有一个μ(d)函数（莫比乌斯函数），它的定义如下：
(1) 若d==1，那么μ(d)=1;
(2) 若d=p1p2p3...pk,pi均为互异素数，那么μ(d)=(-1)k次方；
(3) 其他情况下μ(d)=0；
对于μ(d)函数，它有如下常见性质：
(1) 对任意正整数n有：∑d|n μ(d)= 1 if(n==1) else if(n>1) =0
(2) 对任意正整数n有：∑d|n μ(d)/d = φ(n)/n
用线性筛法求莫比乌斯函数的代码:
bool vis[10045];//标记数组，是否是素数 int n,cnt,prime[10045],mu[10045]；//n是范围,cnt是素数个数，prime是素数数组，mu是该数的莫比乌斯函数 void init() { mu[1]=1;//1的莫比乌斯函数是1 for(int i=2;i<=n;i++) { if(!vis[i])//如果是素数 { mu[i]=-1;//k=1，所以该数的莫比乌斯函数是-1 prime[++cnt]=i;//记录素数 } for(int j=1;j<=cnt&&i*prime[j]<=n;j++)//遍历之前的素数，并且i*prime[j]在n的范围内 { vis[i*prime[j]]=1;//合数 if(i%prime[j])//如果i是素数 mu[i*prime[j]]=-mu[i];//k+1,所以莫比乌斯函数取相反数 else { mu[i*prime[j]]=0;//其他情况莫比乌斯函数为0 break; } } } }
接下来是莫比乌斯反演定理的证明：
恒等变形得：
因为之前证明的这个定理：
所以当且仅当nk=1，即n=k时，∑d|nkμ(d)=1,其余时候等于0。
故
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