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世界的本质是旋转(2) 旋转叠加与傅里叶变换 - 流浪小狗的窝 - CSDN博客 http://blog.csdn.net/goldenhawking/article/details/51352240
世界的本质是旋转3-拍照与采样 - 流浪小狗的窝 - CSDN博客 http://blog.csdn.net/goldenhawking/article/details/51994310
采样是人类认识、分析连续运动的基本方法。对一个连续的运动，我们用状态方程来描述是可以的，但对稍微复杂的运动，实际上很难找到解析的状态方程，或者即使找到了（很幸运的话），也很难求解。有了照相技术之后，人类便有了研究运动的利器-照片。照相可以把瞬间的状态保留下来慢慢研究，比如高速摄像机可以捕捉蜂鸟扑翅一样，连续多帧影像连贯起来，就可以还原其运动的全貌。
用类似的方法，让我们考虑一个复平面实轴上的单频率震动：
%gnu octave
f = 500 ;%Hz
fs = 4000 ;%Hz
tht = pi/6 ;%phase is 30 degree
omg = 2 .* pi .* f / fs;
n = [0 , 1];
p_1 = .5 .* exp ( 1j .* omg .* n + 1j .*tht);
p_2 = .5 .* exp (-1j .* omg .* n - 1j .*tht);
hold on;
plot ([-1.2, 1.2],[0,0],‘r‘,[0,0],[-1.2, 1.2],‘r‘);
plot (p_1(1),‘r*‘,[0,real(p_1(1))], [0,imag(p_1(1))],‘r-.‘);
plot (p_2(1),‘b*‘,[0,real(p_2(1))], [0,imag(p_2(1))],‘b-.‘);
plot (p_1(2),‘r+‘,[0,real(p_1(2))], [0,imag(p_1(2))],‘r--.‘);
plot (p_2(2),‘b+‘,[0,real(p_2(2))], [0,imag(p_2(2))],‘b--.‘);
hold off;
这里，我们只做了两次观察，n=0时，向量位于正负30度; n=1时，向量位于正负75度，旋转了45度，恰好是 π/4 。
在不知道转动频率 f 的情况下，通过上述现象根据拍照频率 fs可推算 f：
(1) 既然我拍照的速率 是 fs ，在 1fs 秒这样长的时间，向量旋转了45度，说明，需要8次拍照，向量恰好转一圈。
(2) 推算出，其旋转频率是拍照速率的 1/8，即 4000 / 8 = 500Hz
可见，因为拍照频率已知，所以，可以根据离散的照片推算出向量的转速。
从上面的例子，我们引申出采样，是与拍照思路相同的行为。不严格的说，人类通过采样，把连续的自然现象感知为几次离散时刻的观察结果，并思考得到连续现象的本质。
在第一章，我们认为，因为拍照频率已知，所以，可以根据离散的照片推算出向量的转速。这个前提其实比较武断，它是有前提的。
我们接着上面的例子。现在，假设还用一个4000Hz的频率去拍照，研究一对旋转的向量，这个向量的初始相位是-30度，转速是 3500Hz
f = 3500 ;% Hz
fs = 4000 ;%Hz
tht = -pi/6 ;%phase is -30 degree
omg = 2 .* pi .* f / fs;
n = [0 , 1];
p_1 = .5 .* exp ( 1j .* omg .* n + 1j .*tht);
p_2 = .5 .* exp (-1j .* omg .* n - 1j .*tht);
hold on;
plot ([-1.2, 1.2],[0,0],‘r‘,[0,0],[-1.2, 1.2],‘r‘);
plot (p_1(1),‘r*‘,[0,real(p_1(1))], [0,imag(p_1(1))],‘r-.‘);
plot (p_2(1),‘b*‘,[0,real(p_2(1))], [0,imag(p_2(1))],‘b-.‘);
plot (p_1(2),‘r+‘,[0,real(p_1(2))], [0,imag(p_1(2))],‘r--.‘);
plot (p_2(2),‘b+‘,[0,real(p_2(2))], [0,imag(p_2(2))],‘b--.‘);
hold off;
上图中，0时刻，红色向量位于-30度; 后顺时针转了315度，在1时刻到达n=1位置（285度）。这种旋转，如果不做染色（红色、蓝色），其观感与第一章中 500Hz, 30度相位的旋转完全一样！
看来，不同转速在一定的拍照速率下，会呈现相同的结果。那末，究竟要拍多快，才能够唯一确定转速呢？这个问题就是奈奎斯特定理。
为了解决2.1中的歧义，我们必须用足够快的速度去拍照。
分析2.1中现象，会发现之所以结果使人糊涂，是因为两次拍照之间，向量旋转超过了180度。这样，我们就搞不清楚第二次拍照时，285度位置上的点，究竟是从-30度顺时针转315度过来的，还是从-30度逆时针转45度过来的。同样，我们就无法推定转速为500Hz还是3500Hz。
换句话说，只有确保两次拍照之间，向量旋转不能高于180度，才能唯一地仅根据照片确定向量的转速。这个条件的不等式：
不仅如此，我们很直观的感觉是，在4000Hz拍照频率下，能够拍出相同照片的转速绝对不止 500Hz, 3500Hz两种。事实上，比这两个转速对应角速率ω 高 fs 整数倍的旋转，观感是一样一样的：
m = 10; % As your wish
fs = 4000 ;%Hz
f = 500 + m .* fs ;% Hz
tht = pi/6 ;%phase is 30 degree或者
m = 7; % As your wish
fs = 4000 ;%Hz
f = 3500 + m .* fs ;% Hz
tht = -pi/6 ;%phase is -30 degree会发现，结果是相同的。接触到这里，已经能够引发思考很多潜在知识点，作为以后的内容吧：
（1）如果我们已知被拍照的旋转大概是多少转，能不能用很低的采样率来精确测量它的转速呢？答案是肯定的。因为知道大概是多少转，就可以知道大概转速为 fs 的多少倍，用 fs 采样，等于是做了 fmod (f, fs) 取余，观察到余数后，再加上整数倍，就可以计算出转速; 换句话说，在有先验知识的情况下，这种低速拍照不损失信息，可以用来拍摄很高速的旋转。（这种行为，在大学课本里，叫做带通采样）
（2）前面的实验中，已经悄悄引入了一个现象，就是旋转的正反。这个概念好像是日光灯照射的电风扇，在特定转速下，扇叶看起来是反转的——这个现象，在大学课本上，叫做“倒谱”。
看似简单的现象背后，却有非常明确的数学原因。下一部分，我们会看看如何只利用有限的照片，拍摄并分析任意运动的旋转分量，并最终和离散傅立叶变换建立形象与抽象的对应。
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原文地址：http://www.cnblogs.com/wxl845235800/p/7221581.html
