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表达式求值

时间:2017-07-22 16:42:01      阅读:242      评论:0      收藏:0      [点我收藏+]

标签:3.3   最小   定义函数   中序   inline   3.1   ==   har   一个栈   

1. 三种表达式

1.1. 前缀表达式, 中缀表达式与后缀表达式

  我们计算一个数的时候, 用到的式子就是表达式, 例如 $2 + 3 \times 4$ 就是一个表达式.

 

  表达式有三种: 前缀表达式, 中缀表达式, 后缀表达式.

  前缀表达式, 就是形如 " 运算符 数字 数字 " 的表达式. 例如 $+~2~2~=~4$ .

  中缀表达式, 就是形如 " 数字 运算符 数字 " 的表达式. 例如 $2~+~2~=~4$ .

  后缀表达式, 就是形如 " 数字 数字 运算符 " 的表达式. 例如 $2~2~+~=~4$ .

 

  中缀表达式是我们日常生活中用的, 最直观, 运算有优先级.

  前缀表达式和后缀表达式的出现在于它们的优点: 没有优先级, 编程难度低!

 

  既然给出了前缀表达式, 中缀表达式, 后缀表达式的概念.

  我们就尝试提出一些问题, 并对这些问题进行解决.

  (1) 给定前缀表达式, 中缀表达式, 后缀表达式, 如何用编程实现求值?

  (2) 如何实现前缀表达式, 中缀表达式, 后缀表达式间的相互转化?

1.2. 前缀表达式与后缀表达式的关系

  前缀表达式恰好是后缀表达式的逆序, 可以互相转化.

  也就是说, 前缀表达式已经无关紧要了, 关键实现后缀表达式与中缀表达式的转化.

2. 三种表达式的计算

2.1. 中缀表达式

  假如从左往右扫描中缀表达式, 由于运算符优先级的问题, 可能会先运算后面, 再运算前面.

  于是我们考虑维护两个栈, 一个栈存运算符, 一个栈存数字.

  当遇到一个数字的时候, 把数字压入栈中.

  当遇到一个运算符的时候, 将前面的优先级高的运算符和数字先提出来运算, 然后再插入这个运算符.

// ^: 0    *: 1    +, -: 2    ): 3    (: 4
const char bond[5][5] = {    >, >, >, >, .,
                            ., >, >, >, .,
                            ., ., >, >, .,
                            ., ., ., ., .,    // 根本不会出现在栈中
                            ., ., ., ., .,
                        };
                        // > :先计算前面的
                        // . : 先不动

int id[500];

inline char rdc(void) { char c = getchar(); for (; c ==  ; c = getchar()); return c; }
inline int compute(int x, int y, char c) {
    if (c == +) return (x + y) % MOD;
    else if (c == -) return ((x - y) % MOD + MOD) % MOD;
    else if (c == *) return 1LL * x * y % MOD;
    else if (c == ^) {
        int ans = 1;
        for (; y > 0; y >>= 1, x = 1LL * x * x % MOD)
            if (y & 1) ans = 1LL * ans * x % MOD;
        return ans;
    }
}
inline int calc(void) {
    static char s1[60]; int n1 = 0;
    static int s2[60]; int n2 = 0; s2[1] = 0;
    
    for (char c = rdc(); c != \n; )
        if (isdigit(c)) {
            int x = 0;
            for (; isdigit(c); c = rdc())
                x = x*10+c-0;
            s2[++n2] = x;
        }
        else {
            while (n1 > 0 && bond[ id[s1[n1]] ][ id[c] ] == >) {
                                // 前面 的 优先级 比 后面 高
                s2[n2-1] = compute(s2[n2-1], s2[n2], s1[n1]);
                s1[n1--] = s2[n2--] = 0;
            }
            if (c == )) s1[n1--] = 0; else s1[++n1] = c;
            c = rdc();
        }
    
    while (n1 > 0) {
        s2[n2-1] = compute(s2[n2-1], s2[n2], s1[n1]);
        s1[n1--] = s2[n2--] = 0;
    }
    // 保证最后 n1 = 0, n2 = 1
    return s2[1];
}

int main(void) {    
    id[^] = 0, id[*] = 1, id[+] = id[-] = 2, id[)] = 3, id[(] = 4;
        printf("%d\n", calc());
    return 0;
} 

2.2. 后缀表达式

  开一个栈存数字.

  遇到一个数字的时候, 把数字压入栈中.

  遇到一个运算符的时候, 把栈顶的两个数字弹出进行运算, 将新得到的数字压入栈中.

3. 三种表达式的相互转化

3.1. 统一于...... 二叉树!

  前缀表达式形如 $+~a~b$ .

  中缀表达式形如 $a~+~b$ .

  后缀表达式形如 $a~b~+$ .

  我们猜测: 一定有一个结构, 能够统一刻画出三种表达式.

 

  所幸的是, 我们发现了这个结构, 二叉树!

  技术分享  

  二叉树的每个节点是表达式的一个运算符或一个数字.

  叶子节点是数字, 否则是运算符.

 

  前序遍历就是前缀表达式.

  中序遍历就是中缀表达式.

  后序遍历就是后缀表达式.

  也就是说, 如果能实现中缀表达式, 后缀表达式转二叉树, 那么就可以实现三者互化.

3.2. 二叉树的计算

  如果给定这么一棵二叉树, 我们也可以通过树形DP算出表达式的值.

  奠基: $f_{current} = s_{current}$ .

  转移: $f_{current} = compute(f_{leftson}, f_{rightson}, s_{current})$ .

  答案: $f_{root}$ .

3.3. 中缀表达式转二叉树

  我们考虑递归建树, 定义函数  int Build(int l, int r)  .

  当 $s[l:r]$ 为一个数字的时候, 直接建立一个新点, 将新点上的权值赋为这个数字, 并返回这个新点.

  当 $s_l$ 为左括号, $s_r$ 为右括号, 且相互匹配的时候, 返回  Build(l+1, r-1)  .

  否则查找 $s[l:r]$ 中优先级最小的运算符, 建立一个新点, 将这个点上的权值赋为运算符, 递归调用左边和右边, 然后返回当前点.

3.4. 后缀表达式转二叉树

  我们考虑维护一个栈.

  遇到一个数字的时候, 就把这个数字压入栈中.

  遇到一个运算符的时候, 就把栈顶的两个数字弹出, 并将他们的父亲设为这个运算符, 再将这个运算符压入.

4. 小结

技术分享

表达式求值

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原文地址:http://www.cnblogs.com/Sdchr/p/7221445.html

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