Matlab---傅里叶变换---通俗理解（二）

1、用Matlab进行傅立叶变换

FFT是离散傅里叶变换的高速算法，能够将一个信号变换到频域。有些信号在时域上是非常难看出什么特征的，可是假设变换到频域之后，就非常easy看出特征了。这就是非常多信号分析採用FFT变换的原因。

另外，FFT能够将一个信号的频谱提取出来。这在频谱分析方面也是经经常使用的。

FFT结果的详细物理意义。

一个模拟信号。经过ADC採样之后，就变成了数字信号。採样定理告诉我们，採样频率要大于信号频率的两倍。

採样得到的数字信号，就能够做FFT变换了。N个採样点，经过FFT之后，就能够得到N个点的FFT结果。

为了方便进行FFT运算，通常N取2的整数次方。

如果採样频率为Fs。信号频率F。採样点数为N。那么FFT之后结果就是一个为N点的复数。每一个点就相应着一个频率点。这个点的模值，就是该频率值下的幅度特性。详细跟原始信号的幅度有什么关系呢？如果原始信号的峰值为A，那么FFT的结果的每一个点（除了第一个点直流分量之外）的模值就是A的N/2倍。而第一个点就是直流分量，它的模值就是直流分量的N倍。

而每一个点的相位呢。就是在该频率下的信号的相位。第一个点表示直流分量（即0Hz），而最后一个点N的再下一个点（实际上这个点是不存在的，这里是如果的第N+1个点。也能够看做是将第一个点分做两半分，还有一半移到最后）则表示採样频率Fs，这中间被N-1个点平均分成N等份，每一个点的频率依次添加。比如某点n所表示的频率为：Fn=(n-1)*Fs/N。

由上面的公式能够看出，Fn所能分辨到频率为为Fs/N，如果採样频率Fs为1024Hz，採样点数为1024点，则能够分辨到1Hz。1024Hz的採样率採样1024点。刚好是1秒，也就是说，採样1秒时间的信号并做FFT，则结果能够分析到1Hz，如果採样2秒时间的信号并做FFT。则结果能够分析到0.5Hz。如果要提高频率分辨力。则必须添加採样点数，也即採样时间。频率分辨率和採样时间是倒数关系。

如果FFT之后某点n用复数a+bi表示，那么这个复数的模就是An=根号a*a+b*b。相位就是Pn=atan2(b,a)。依据以上的结果。就能够计算出n点（n≠1，且n<=N/2）相应的信号的表达式为：An/(N/2)*cos(2*pi*Fn*t+Pn)。即2*An/N*cos(2*pi*Fn*t+Pn)。对于n=1点的信号，是直流分量，幅度即为A1/N。

因为FFT结果的对称性。通常我们仅仅使用前半部分的结果，即小于採样频率一半的结果。

2、以下以一个实际的信号来做说明

如果我们有一个信号，它含有2V的直流分量，频率为50Hz、相位为-30度、幅度为3V的交流信号。以及一个频率为75Hz、相位为90度、幅度为1.5V的交流信号。用数学表达式就是例如以下：S=2+3*cos(2*pi*50*t-pi*30/180)+1.5*cos(2*pi*75*t+pi*90/180)。式中cos參数为弧度。所以-30度和90度要分别换算成弧度。我们以256Hz的採样率对这个信号进行採样，总共採样256点。依照我们上面的分析，Fn=(n-1)*Fs/N，我们能够知道。每两个点之间的间距就是1Hz，第n个点的频率就是n-1。

我们的信号有3个频率：0Hz、50Hz、75Hz。应该分别在第1个点、第51个点、第76个点上出现峰值，其他各点应该接近0。

实际情况怎样呢？我们来看看FFT的结果的模值如图所看到的。

从图中我们能够看到，在第1点、第51点、和第76点附近有比較大的值。我们分别将这三个点附近的数据拿上来细看：

1点： 512+0i

2点： -2.6195E-14 - 1.4162E-13i

3点： -2.8586E-14 - 1.1898E-13i

50点：-6.2076E-13 - 2.1713E-12i

51点：332.55 - 192i

52点：-1.6707E-12 - 1.5241E-12i

75点：-2.2199E-13 -1.0076E-12i

76点：3.4315E-12 + 192i

77点：-3.0263E-14 +7.5609E-13i

非常明显，1点、51点、76点的值都比較大。它附近的点值都非常小。能够觉得是0，即在那些频率点上的信号幅度为0。接着，我们来计算各点的幅度值。分别计算这三个点的模值。结果例如以下：

1点： 512

51点：384

76点：192

依照公式。能够计算出直流分量为：512/N=512/256=2；50Hz信号的幅度为：384/(N/2)=384/(256/2)=3。75Hz信号的幅度为192/(N/2)=192/(256/2)=1.5。可见，从频谱分析出来的幅度是正确的。

然后再来计算相位信息。直流信号没有相位可言，不用管它。先计算50Hz信号的相位，atan2(-192, 332.55)=-0.5236,结果是弧度，换算为角度就是180*(-0.5236)/pi=-30.0001。再计算75Hz信号的相位，atan2(192, 3.4315E-12)=1.5708弧度，换算成角度就是180*1.5708/pi=90.0002。

可见，相位也是对的。依据FFT结果以及上面的分析计算。我们就能够写出信号的表达式了。它就是我们開始提供的信号。

三、总结

如果採样频率为Fs，採样点数为N，做FFT之后，某一点n（n从1開始）表示的频率为：Fn=(n-1)*Fs/N；该点的模值除以N/2就是相应该频率下的信号的幅度（对于直流信号是除以N）。该点的相位即是相应该频率下的信号的相位。

相位的计算可用函数atan2(b,a)计算。atan2(b,a)是求坐标为(a,b)点的角度值，范围从-pi到pi。

要精确到xHz，则须要採样长度为1/x秒的信号，并做FFT。

要提高频率分辨率。就须要添加採样点数，这在一些实际的应用中是不现实的，须要在较短的时间内完毕分析。

解决问题的方法有频率细分法，比較简单的方法是採样比較短时间的信号，然后在后面补充一定数量的0，使其长度达到须要的点数，再做FFT，这在一定程度上可以提高频率分辨力。

详细的频率细分法可參考相关文献。