图像检索之EMD距离(Earth Mover's Distance)

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在理解EMD距离模型时，需要先对《运筹学》中运输问题，做一下了解。下面给出几个运输问题的小例子，作为补充知识：

那么，对于上述问题我们发现是一个 产量=销量=500 ，即产销平衡的问题，可以提出这样的数学模型：

假设运到物品的个数为，用代表运到单个物品的运费（在上述表格中都有），用表示产地的产量，表示销地的销量，则总运费为，使总运费最小的数学模型为：

还有令两种可能就是 产量>销量 或者 产量<销量，这里不做模型的讨论，上面三种运输问题都可以用单纯形法进行求解。因为只有当“产量=销量”即：时，EMD是作为距离的。

以下给出EMD距离的具体定义和相关证明

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EMD是由 2000年YOSSI RUBNER在《The Earth Mover‘s Distance as a Metric for Image Retrival》论文中提出的。　

设

其中

，

代表一张图片的特征，代表另一张图片的特征，代表特征的权重，代表特征的权重，代表和之间的距离（L1,L2,等距离），

通过以下最优化问题：

解出，EMD的定义为：

                                                                                                        。

我们知道距离定义必须满足三点：正定性，齐次性，三角不等式，正定性和齐次性很容易证明。下面主要证明三角不等式。作者YOSSI RUBNER证明了，当

时，EMD是满足三角不等式的，即EMD是距离。

所以注意：在使用EMD距离时，要让权重的和是相等的。

证明：写不完了，下周一再用

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原文地址：http://blog.csdn.net/zhangping1987/article/details/25368183