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在动态规划中，经常遇到形如下式的转台转移方程：
m(i,j)=min{m(i,k-1),m(k,j)}+w(i,j)(i≤k≤j)（min也可以改为max）
上述的m(i,j)表示区间[i,j]上的某个最优值。w(i,j)表示在转移时需要额外付出的代价。该方程的时间复杂度为O(N^3)。
下面我们通过四边形不等式来优化上述方程，首先介绍什么是”区间包含的单调性“和”四边形不等式“
（1）区间包含的单调性：如果对于i≤i‘<j≤j‘，有w(i‘,j)≤w(i,j‘)，那么说明w具有区间包含的单调性。（可以形象理解为如果小区间包含于大区间中，那么小区间的w值不超过大区间的w值）
（2）四边形不等式：如果对于i≤i‘<j≤j‘，有w(i,j)+w(i‘,j‘)≤w(i‘,j)+w(i,j‘)，我们称函数w满足四边形不等式。（可以形象理解为两个交错区间的w的和不超过小区间与大区间的w的和）
下面给出两个定理
定理一：如果上述的w函数同时满足区间包含单调性和四边形不等式性质，那么函数m也满足四边形不等式性质。
我们再定义s(i,j)表示m(i,j)取得最优值时对应的下标（即i≤k≤j时，k处的w值最大，则s(i,j)=k）。此时有如下定理
定理二：假如m(i,j)满足四边形不等式，那么s(i,j)单调，即s(i,j)≤s(i,j+1)≤s(i+1,j+1)。
好了，有了上述的两个定理后，我们发现如果w函数满足区间包含单调性和四边形不等式性质，那么有s(i,j-1)≤s(i,j)≤s(i+1,j)。即原来的状态转移方程可以改写为下式：
m(i,j)=min{m(i,k-1),m(k,j)}+w(i,j)(s(i,j-1)≤k≤s(i+1,j))（min也可以改为max）
由于这个状态转移方程枚举的是区间长度L=j-i，而s(i,j-1)和s(i+1,j)的长度为L-1，是之间已经计算过的，可以直接调用。不仅如此，区间的长度最多有n个，对于固定的长度L，不同的状态也有n个，故时间复杂度为O(N^2)，而原来的时间复杂度为O(N^3)，实现了优化！今后只需要根据方程的形式以及w函数是否满足两条性质即可考虑使用四边形不等式来优化了。
以51nod 1022为例子。
第1行：N（2 <= N <= 1000) 第2 - N + 1：N堆石子的数量（1 <= A[i] <= 10000)
输出最小合并代价
4 1 2 3 4
19
1 #include <iostream> 2 #include <stdio.h> 3 #include <string.h> 4 #define ll long long 5 using namespace std; 6 const int MAX = 2005; 7 const int INF = 0x3f3f3f3f; 8 int dp[MAX][MAX], sum[MAX][MAX], s[MAX][MAX], a[MAX]; 9 10 int main() { 11 int n; 12 scanf("%d",&n); 13 for(int i = 1; i <= n; i ++) { 14 scanf("%d",&a[i]); 15 a[i+n] = a[i]; 16 } 17 for(int i = 1; i <= 2*n; i ++) { 18 dp[i][i] = 0; 19 s[i][i] = i; 20 } 21 for(int i = 1; i <= 2*n; i ++) { 22 for(int j = i; j <= i+n; j ++) { 23 sum[i][j] = sum[i][j-1]+a[j]; 24 } 25 } 26 for(int len = 2; len <= n; len ++) { 27 for(int i = 1; i <= 2*n-len+1; i ++) { 28 int j = i+len-1; 29 dp[i][j] = INF; 30 for(int k = s[i][j-1]; k <= s[i+1][j]; k ++){ 31 if(dp[i][j] > dp[i][k] + dp[k+1][j] + sum[i][j]){ 32 dp[i][j] = dp[i][k] + dp[k+1][j] + sum[i][j]; 33 s[i][j] = k; 34 } 35 } 36 } 37 } 38 int ans = INF; 39 for(int i = 1; i < n; i ++) { 40 ans = min(ans,dp[i][i+n-1]); 41 } 42 printf("%d\n",ans); 43 return 0; 44 }
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原文地址：http://www.cnblogs.com/xingkongyihao/p/7241987.html
