POJ 1163 The Triangle（经典问题教你彻底理解动归思想）

Description

7
3   8
8   1   0
2   7   4   4
4   5   2   6   5

(Figure 1)

Input

Output

Sample Input

5
7
3 8
8 1 0 
2 7 4 4
4 5 2 6 5

Sample Output

30

在上面的数字三角形中寻找一条从顶部究竟边的路径。使得
路径上所经过的数字之和最大。路径上的每一步都仅仅能往左下或
右下走。仅仅须要求出这个最大和就可以。不必给出详细路径。
三角形的行数大于1小于等于100，数字为 0 - 99

超级经典啊有木有，，理解动归必看啊有木有。

。。

解题思路：
用二维数组存放数字三角形。

D( r, j) : 第r行第 j 个数字(r,j从1開始算)
MaxSum(r, j) : 从D(r,j)究竟边的各条路径中，
最佳路径的数字之和。

问题：求 MaxSum(1,1)
典型的递归问题。
D(r, j)出发，下一步仅仅能走D(r+1,j)或者D(r+1, j+1)。

故对于N行的三角形：
if ( r == N)
MaxSum(r,j) = D(r,j)
else
MaxSum( r, j) = Max{ MaxSum(r＋1,j), MaxSum(r+1,j+1) } + D(r,j)

数字三角形的递归程序:

#include <iostream>
#include <algorithm>
#define MAX 101
using namespace std;
int D[MAX][MAX];
int n;
int MaxSum(int i, int j){
if(i==n)
return D[i][j];
int x = MaxSum(i+1,j);
int y = MaxSum(i+1,j+1);
return max(x,y)+D[i][j];
}

int main(){
int i,j;
cin >> n;
for(i=1;i<=n;i++)
for(j=1;j<=i;j++)
cin >> D[i][j];
cout << MaxSum(1,1) << endl;
}

比方：当我们在计算第三行长度时。由于8 1 0的产生都基于第四行的”7“这个位置，即的D[4][2],又在进行路径搜索时前面共同拥有1*2*3条路径，这就会反复计算6*2次==12次。

考虑到假设能去除反复将会使得程序执行效率大大提高。

那么详细怎么做呢？？？

假设每算出一个MaxSum(r,j)就保存起来，下次用
到其值的时候直接取用，则可免去反复计算。

那么
能够用O(n 2 )时间完毕计算。由于三角形的数字总
数是 n(n+1)/2

数字三角形的记忆递归型动归程序：

#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
#define MAX 101
int D[MAX][MAX]; int n;
int maxSum[MAX][MAX];
int MaxSum(int i, int j){
if( maxSum[i][j] != -1 )
return maxSum[i][j];
if(i==n) maxSum[i][j] = D[i][j];
else {
int x = MaxSum(i+1,j);
int y = MaxSum(i+1,j+1);
maxSum[i][j] = max(x,y)+ D[i][j];
}
return maxSum[i][j];
}
int main(){
int i,j;
cin >> n;
for(i=1;i<=n;i++)
for(j=1;j<=i;j++) {
cin >> D[i][j];
maxSum[i][j] = -1;
}
cout << MaxSum(1,1) << endl;
}

#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
#define MAX 101
int D[MAX][MAX]; int n;
int maxSum[MAX][MAX];
int main() {
int i,j;
cin >> n;
for(i=1;i<=n;i++)
for(j=1;j<=i;j++)
cin >> D[i][j];
for( int i = 1;i <= n; ++ i )
maxSum[n][i] = D[n][i];
for( int i = n-1; i>= 1; --i )
for( int j = 1; j <= i; ++j )
maxSum[i][j] = max(maxSum[i+1][j],maxSum[i+1][j+1]) + D[i][j]
cout << maxSum[1][1] << endl;
}

#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
#define MAX 101
int D[MAX][MAX];
 int n;
int maxSum[MAX];
int max(int a,int b)
{return a>b?a:b;}
int main() {
	int i,j;
	cin >> n;
	for(i=1;i<=n;i++)
		for(j=1;j<=i;j++)
			cin >> D[i][j];
		for(i = 1;i <= n; ++ i )
			maxSum[i] = D[n][i];
		for(i = n-1; i>= 1; --i )
			for(j = 1; j <= i; ++j )
				maxSum[j] = max(maxSum[j],maxSum[j+1]) + D[i][j];
				cout << maxSum[1] << endl;
				return 0;
}

#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
#define MAX 101
int D[MAX][MAX];
int n; int * maxSum;
int main(){
int i,j;
cin >> n;
for(i=1;i<=n;i++)
for(j=1;j<=i;j++)
cin >> D[i][j];
maxSum = D[n]; //maxSum指向第n行
for( int i = n-1; i>= 1; --i )
for( int j = 1; j <= i; ++j )
maxSum[j] = max(maxSum[j],maxSum[j+1]) + D[i][j];
cout << maxSum[1] << endl;
}