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快速傅里叶变换在信息学竞赛中主要用于求卷积,或者说多项式乘法。我们知道,多项式乘法的普通算法时间复杂度
是,通过快速傅里叶变换可以使时间降为,那么接下来会详细介绍快速傅里叶变换的原理。
首先来介绍多项式的两种表示方法,即系数表示法和点值表示法。从某种意义上说,这两种方法是等价的。先设
(1)系数表示法
对于一个次数界为的多项式来说,其系数表示法就是一个由系数组成的向量,很
明显,这样的多项式乘法运算的时间复杂度为。
(2)点值表示法
对于一个次数界为的多项式来说,其点值是个点值对所形成的集合
其中各不相同,并且当时,有。可以看出一个多项式可以有多种不同的点值
表示法,而通过这个不同的点值对可以表示一个唯一的多项式。而通过点值表示法来计算多项式的乘法,时间
复杂度为。
从原则上来说,计算多项式的点值是简单易行的,因为我们只需要先选取个相异的点,然后通过秦九韶算法可
以在时间内求出所有的,实际上如果我们的选得巧妙的话,就可以加速这一过程,使其运行时间变
为。
根据多项式的系数表示法求其点值表示法的过程称为求值,而根据点值表示法求其系数表示法的过程称为插值。
对于求卷积或者说多项式乘法运算问题,先是通过傅里叶变换对系数表示法的多项式进行求值运算,这一步的时
间复杂度为,然后在时间内进行点值相乘,再进行插值运算。
那么,接下来就是我们今天的重点了,如何高效地对一个多项式进行求值运算,即将多项式表示法变为点值表示法。
如果选取单位复根作为求值点,则可以通过对系数向量进行离散傅里叶变换(DFT),得到相应的点值表示。同样地
也可以通过对点值对进行逆DFT运算,获得相应的系数向量。DFT和逆DFT的时间复杂度均为。
一. 求DFT
选取次单位复根作为来求点值是比较巧妙的做法。
次单位复根是满足的复数,次单位复根恰好有个,它们是,,为
了解释这一式子,利用复数幂的定义,值称为主次单位根,所有其
它次单位复根都是的次幂。
个次单位复根在乘法运算下形成一个群,该群的结构与加法群模相同。
接下来认识几个关于次单位复根的重要性质。
(1)相消引理
对于任何整数,有
(2)折半引理
如果且为偶数,则
(3)求和引理
对任意整数和不能被整除的非零整数,有
回顾一下,我们希望计算次数界为的多项式
在处的值,假定是2的幂,因为给定的次数界总可以增大,如果需要,总可以添加值为零
的新的高阶系数。假定已知的系数形式为,对,定义结果
如下
向量是系数向量的离散傅里叶变换,写作。
通过使用一种称为快速傅里叶变换(FFT)的方法,就可以在时间内计算出,而直接
计算的方法所需时间为,FFT主要是利用单位复根的特殊性质。FFT方法运用了分治策略,它用
中偶数下标的系数与奇数下标的系数,分别定义了两个新的次数界为的多项式和
则进一步有
这样在处的值得问题就转换为求次数界为的多项式和在点
处的值。由于在奇偶分类时导致顺序发生变化,所以需要先通过Rader算法进行
倒位序,在FFT中最重要的一个操作时蝴蝶操作,通过蝴蝶操作可以将前半部分和后半部分的值求出。
题目:http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1402
题意:大数乘法,需要用FFT实现。
代码:
#include <iostream> #include <string.h> #include <stdio.h> #include <math.h> using namespace std; const int N = 500005; const double PI = acos(-1.0); struct Virt { double r, i; Virt(double r = 0.0,double i = 0.0) { this->r = r; this->i = i; } Virt operator + (const Virt &x) { return Virt(r + x.r, i + x.i); } Virt operator - (const Virt &x) { return Virt(r - x.r, i - x.i); } Virt operator * (const Virt &x) { return Virt(r * x.r - i * x.i, i * x.r + r * x.i); } }; //雷德算法--倒位序 void Rader(Virt F[], int len) { int j = len >> 1; for(int i=1; i<len-1; i++) { if(i < j) swap(F[i], F[j]); int k = len >> 1; while(j >= k) { j -= k; k >>= 1; } if(j < k) j += k; } } //FFT实现 void FFT(Virt F[], int len, int on) { Rader(F, len); for(int h=2; h<=len; h<<=1) //分治后计算长度为h的DFT { Virt wn(cos(-on*2*PI/h), sin(-on*2*PI/h)); //单位复根e^(2*PI/m)用欧拉公式展开 for(int j=0; j<len; j+=h) { Virt w(1,0); //旋转因子 for(int k=j; k<j+h/2; k++) { Virt u = F[k]; Virt t = w * F[k + h / 2]; F[k] = u + t; //蝴蝶合并操作 F[k + h / 2] = u - t; w = w * wn; //更新旋转因子 } } } if(on == -1) for(int i=0; i<len; i++) F[i].r /= len; } //求卷积 void Conv(Virt a[],Virt b[],int len) { FFT(a,len,1); FFT(b,len,1); for(int i=0; i<len; i++) a[i] = a[i]*b[i]; FFT(a,len,-1); } char str1[N],str2[N]; Virt va[N],vb[N]; int result[N]; int len; void Init(char str1[],char str2[]) { int len1 = strlen(str1); int len2 = strlen(str2); len = 1; while(len < 2*len1 || len < 2*len2) len <<= 1; int i; for(i=0; i<len1; i++) { va[i].r = str1[len1-i-1] - '0'; va[i].i = 0.0; } while(i < len) { va[i].r = va[i].i = 0.0; i++; } for(i=0; i<len2; i++) { vb[i].r = str2[len2-i-1] - '0'; vb[i].i = 0.0; } while(i < len) { vb[i].r = vb[i].i = 0.0; i++; } } void Work() { Conv(va,vb,len); for(int i=0; i<len; i++) result[i] = va[i].r+0.5; } void Export() { for(int i=0; i<len; i++) { result[i+1] += result[i]/10; result[i] %= 10; } int high = 0; for(int i=len-1; i>=0; i--) { if(result[i]) { high = i; break; } } for(int i=high; i>=0; i--) printf("%d",result[i]); puts(""); } int main() { while(~scanf("%s%s",str1,str2)) { Init(str1,str2); Work(); Export(); } return 0; }
题目:http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=4609
题意:给定n条长度已知的边,求能组成多少个三角形。
分析:用一个num数组来记录次数,比如num[i]表示长度为i的边有num[i]条。然后对num[]求卷积,除去本身重
复的和对称的,然后再整理一下就好了。
代码:
#include <iostream> #include <string.h> #include <algorithm> #include <stdio.h> #include <math.h> using namespace std; typedef long long LL; const int N = 400005; const double PI = acos(-1.0); struct Virt { double r,i; Virt(double r = 0.0,double i = 0.0) { this->r = r; this->i = i; } Virt operator + (const Virt &x) { return Virt(r+x.r,i+x.i); } Virt operator - (const Virt &x) { return Virt(r-x.r,i-x.i); } Virt operator * (const Virt &x) { return Virt(r*x.r-i*x.i,i*x.r+r*x.i); } }; //雷德算法--倒位序 void Rader(Virt F[],int len) { int j = len >> 1; for(int i=1; i<len-1; i++) { if(i < j) swap(F[i], F[j]); int k = len >> 1; while(j >= k) { j -= k; k >>= 1; } if(j < k) j += k; } } //FFT实现 void FFT(Virt F[],int len,int on) { Rader(F,len); for(int h=2; h<=len; h<<=1) //分治后计算长度为h的DFT { Virt wn(cos(-on*2*PI/h),sin(-on*2*PI/h)); //单位复根e^(2*PI/m)用欧拉公式展开 for(int j=0; j<len; j+=h) { Virt w(1,0); //旋转因子 for(int k=j; k<j+h/2; k++) { Virt u = F[k]; Virt t = w*F[k+h/2]; F[k] = u+t; //蝴蝶合并操作 F[k+h/2] = u-t; w = w*wn; //更新旋转因子 } } } if(on == -1) for(int i=0; i<len; i++) F[i].r /= len; } //求卷积 void Conv(Virt F[],int len) { FFT(F,len,1); for(int i=0; i<len; i++) F[i] = F[i]*F[i]; FFT(F,len,-1); } int a[N]; Virt F[N]; LL num[N],sum[N]; int len,n; void Init() { memset(num,0,sizeof(num)); scanf("%d",&n); for(int i=0; i<n; i++) { scanf("%d",&a[i]); num[a[i]]++; } sort(a, a + n); int len1 = a[n-1] + 1; len = 1; while(len < len1*2) len <<= 1; for(int i=0; i<len1; i++) F[i] = Virt(num[i],0); for(int i=len1; i<len; i++) F[i] = Virt(0,0); } void Work() { Conv(F,len); for(int i=0; i<len; i++) num[i] = (LL)(F[i].r+0.5); len = a[n-1]*2; for(int i=0; i<n; i++) num[a[i]+a[i]]--; for(int i=1; i<=len; i++) num[i] >>= 1; sum[0] = 0; for(int i=1; i<=len; i++) sum[i] = sum[i-1] + num[i]; LL cnt = 0; for(int i=0; i<n; i++) { cnt+=sum[len]-sum[a[i]]; //减掉一个取大,一个取小的 cnt-=(LL)(n-1-i)*i; //减掉一个取本身,另外一个取其它 cnt-=(n-1); //减掉大于它的取两个的组合 cnt-=(LL)(n-1-i)*(n-i-2)/2; } LL tot = (LL)n*(n-1)*(n-2)/6; printf("%.7lf\n",(double)cnt/tot); } int main() { int T; scanf("%d",&T); while(T--) { Init(); Work(); } return 0; }
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原文地址:http://blog.csdn.net/acdreamers/article/details/39005227