差分约束系统

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　　网上的资料或多或少地缺乏一些完整性, 那么我也来一份缺乏完整性(大雾)的总结.

差分约束系统的概念

　　设 $X = \left\{ x_1, x_2, ..., x_n \right\}$ .

　　满足若干个形如 $x_i - x_j \ge w$ 的限制条件.

　　解 $X$ .

　　解一个问题有三个大的层次:

　　　　① 是否存在解? 构造任意一组解? 构造一组特殊解?

　　　　② 解的个数?

　　　　③ 解出所有?

　　在我所能接触到的, 差分约束系统能完美地在多项式的时间复杂度内解决第一个层次, 而层次二和层次三就不行.

等价建图

　　转化为图论的模型进行处理.

　　对于任意的 $x_i$ , 设对应编号为 $i$ 的点.

　　对于限制条件 $x_i - x_j \ge w$ , 连边 $i \rightarrow j$ , 边权为 $w$ .

解的存在性与构造任意一组解

　　当图中存在负权回路时, 说明对于点 $i$ , 有 $w > 0, x_i - w \ge x_i$ , 所以一定无解.

　　否则我们可以构造性地证明一定有解:

　　　　令 $x_1, x_2, ..., x_n$ 的初始值为 $0$ .

　　　　每次不断地选出一个点 $i$ , 枚举它的所有边 $(i, j, w)$ , 尝试进行松弛:

　　　　　　如果 $x_i + w \ge x_j$ , 那么令 $x_j = x_i + w$ .

　　　　如此迭代下去, 由于不存在负权回路, 所以一定会停止.

　　我们发现这里的算法和最短路是等价的:

　　　　对于判断负权回路, 可以用 SPFA 或 Floyd.

　　　　对于迭代松弛, 可以用 SPFA 或 Floyd.

　　所以直接用 SPFA 或者 Floyd 即可.

　　总结一下, 我们解决了第一层次的两个小问题:

　　　　(1) 解的存在性;

　　　　(2) 构造任意一组解.

构造最大化 与某点差值 的解

　　将问题再具体地描述一下:

　　　　给定 $i$ , 构造 $\forall j, x_j - x_i$ 最大的解 $X$ .

　　对于 $x_j < x_i$ , 最小化了差距 $|x_j - x_i|$ .

　　对于 $x_j > x_i$ , 最大化了差距 $|x_j - x_i|$ .

　　我们的做法是: 跑以 $i$ 为源点的单源最短路.

　　因为对于任意的 $x_j$ , 在满足所有限制条件 "$\ge$" 下, 尽可能的大.

构造最小化 最大值与最小值的差距 的解

　　构造 $\max_j x_j - \min_j x_j$ 最小的解.

　　这里的做法就是构造性证明的做法.

　　我们最初对 $x_1, x_2, ..., x_n$ 都赋成 $0$ .

　　跑最短路下来, 对于 $x_i < 0$ , 其必然也尽可能的大.

　　所以最小化的差距即为最终的 $\min_{j}(-x_j)$ .

差分约束系统

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原文地址：http://www.cnblogs.com/Sdchr/p/7262477.html