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点是否再三角形面之内的位置关系判定
常用的方法是，如果点在三角形内部，则连接与三角形的三个顶点，并计算组成的组成矢量的角度和，如果为2pei， 则在三角形内部，否则不再三角形内不。理论上该方法可行，但是效率非常慢。
因为要计算夹角，需要多次计算平方根。
1. 判定是否同边的技术原理（Same Side Technique）
快速且简洁的方法如下：
如图，三角形，线段AB, BC, and CA，每一条都半分剩下的部分，且剩下的在三角形的外部部分，我们可以利用这个特性做如下处理：
如果一个点在三角形内部，则点必然在AB下面， BC左面，AC右边。如果不符合这个特性，则判定结果比在三角形外面，因此这个判定很快。
（1）计算一个点在一个线段的位置关系
通过叉积的方式，用[B - A ]和[p - A ]组成的叉积，即AB * Ap, 如果结果为正（叉积朝向屏幕外面），则p 在AB的左边， 否则（叉积朝向屏幕里面）在AB的右边。
因为在3D空间中，AB方向线段，与点p的位置关系，可以借助点C来判定，因为ABC组成一个平面，因此C可以作为参考值。
继而，判定任意点p， 如果[B - A ]和[p - A ]叉积方向，与[B - A ]和[C - A]的叉积方向不相同，则可直接判定没有在三角形内部； 如果与叉积方向相同，则可以继续对余下的边进行同样的判定方式。
判断两个叉积结果的方向是否同向，使用点乘的方式。
实现方面的方法非常容易，可以实现一个方法来判定是否在相同的边的位置。在判定的时候可以分别调用：
function SameSide(p1,p2, a,b)
cp1 = CrossProduct(b-a, p1-a)
cp2 = CrossProduct(b-a, p2-a)
if DotProduct(cp1, cp2) >= 0 then return true
else return false
function PointInTriangle(p, a,b,c)
if SameSide(p,a, b,c) and SameSide(p,b, a,c)
and SameSide(p,c, a,b) then return true
else return false
这样的方法非常高效，不需要计算平方根，弧度反求，等等。
2 判定中心的技术原理（Barycentric Technique）
还有一种方法可以执行的更快，原理更简单的方法，与数学知识有一点点关联。
因为三角形的三个点确定一个平面，在这个平面中，可以任意选择一点，其他的点都是作为相对位置关系。如以点A为例，然后选定[C-A][B-A]两个向量作为该平面的坐标分量，因此三角形平面中任意一点都可以用这连个向量AB，AC表示。
即 P = A + u * (C - A) + v * (B - A)
注意：如果系数u或者v都< 0, 则p点必然在三角形区域之外。同样，如果u 或者v > 1, 则 点 p则在三角形之外，最后，如果 u + v > 1, 同样越过BC边，而到三角形之外
因此可以计算出P在u，v系数下的表示。但是怎么获取p点在上述公式中的系数u，v呢？
可以使用下述的公式推导：
// We have two unknowns (u and v) so we need two equations to solve // for them. Dot both sides by v0 to get one and dot both sides by // v1 to get a second. (v2) . v0 = (u * v0 + v * v1) . v0 (v2) . v1 = (u * v0 + v * v1) . v1 // Distribute v0 and v1 v2 . v0 = u * (v0 . v0) + v * (v1 . v0) v2 . v1 = u * (v0 . v1) + v * (v1 . v1) // Now we have two equations and two unknowns and can solve one // equation for one variable and substitute into the other. Or // if you‘re lazy like me, fire up Mathematica and save yourself // some handwriting. Solve[v2.v0 == {u(v0.v0) + v(v1.v0), v2.v1 == u(v0.v1) + v(v1.v1)}, {u, v}] u = ((v1.v1)(v2.v0)-(v1.v0)(v2.v1)) / ((v0.v0)(v1.v1) - (v0.v1)(v1.v0)) v = ((v0.v0)(v2.v1)-(v0.v1)(v2.v0)) / ((v0.v0)(v1.v1) - (v0.v1)(v1.v0))
下面是用于编程的快速实现：
// Compute vector，计算向量AC， AB， CP v0 = C - A v1 = B - A v2 = P - A // Compute dot products 计算点乘 dot00 = dot(v0, v0) dot01 = dot(v0, v1) dot02 = dot(v0, v2) dot11 = dot(v1, v1) dot12 = dot(v1, v2) // Compute barycentric coordinates 计算系数坐标 invDenom = 1 / (dot00 * dot11 - dot01 * dot01) u = (dot11 * dot02 - dot01 * dot12) * invDenom v = (dot00 * dot12 - dot01 * dot02) * invDenom // Check if point is in triangle 检测 return (u >= 0) && (v >= 0) && (u + v < 1)
endl;
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原文地址：http://www.cnblogs.com/icmzn/p/7273677.html
