单源最短路径小结

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一、负权问题

如果一个图仅仅是存在负权，但不构成负权回路，又该如何？

• Dijkstra 算法

观察上图，若 A 作为源点，在第一轮循环后，B 被标记数组标记，但我们发现在第二轮循环中，B 还可以通过 C 点继续进行更新。由此，可以得出结论：Dijkstra 算法不适用于负权图。

• Bellman_Ford 算法和 SPFA 算法

我们先思考下上述 “因 B 点被标记数组标记而导致无法通过 C 点再更新” 的问题，归根结底是标记数组的锅。有人提议，不妨去掉标记数组，如果去掉，就会造成很严重的问题，首当其冲的是“无法求出dist[]的最小值”。

反观 Bellman_Ford 算法和 SPFA 算法，它们不存在标记数组的问题，因此对于仅仅存在负权的图，它们都可以工作的很好。

最后，读者需要注意的是，如果是无向图，只要存在一条负边，该图就存在负权回路，这不难理解，无向图的一条边相当于有向图的往返两条边。

二：Dijkstra，Bellman_Ford 和 SPFA，该用哪个？

Bellman_Ford 没什么好说的，能不用就不用。

国际上一般不承认 SPFA 算法，因为在 SPFA 算法论文中对它的复杂度证明存在错误，其次 Bellman_Ford 的论文中已提及过这个队列优化。

SPFA 算法有两个优化策略 SLF 和 LLL。

• SLF，Small Label First 策略，设要加入的节点是 j，队首元素为 i，若dist[j] < dist[i]，则将 j 插入队首，否则插入队尾；
• LLL，Large Label Last 策略，设队首元素为 i，队列中所有 dist 值的平均值为 x，若dist[i] > x则将 i 插入到队尾，查找下一元素，直到找到某一 i 使得dist[i] <= x，则将 i 出队进行松弛操作。

SLF 可使速度提高 15 ~ 20%，SLF + LLL 可提高约 50%。 在实际的应用中 SPFA 的算法时间效率不是很稳定，为了避免最坏情况的出现，通常使用效率更加稳定的 Dijkstra 算法。

使用邻接表 + 二叉堆优化的 Dijkstra 算法，复杂度适宜，也稳定，就是有个缺陷，不能处理负权回路。

最后话个唠，我发现在算法竞赛中我们大多数的选择还是 SPFA，知乎了下，邻接表 + 二叉堆优化的 Dijkstra 写起来复杂，容易错，而 SPFA 代码简单，容易写，但是会被题目卡数据。

总结：首选 Dijkstra，其次 SPFA，最后 Bellman_Ford，具体采用哪种方法，视情况而定。

单源最短路径小结

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原文地址：http://www.cnblogs.com/xzxl/p/7277846.html