关于狄利克雷分布的理解

今天来讲一下dirichlet distribution和dirichlet process怎么回事。力求让刚開始学习的人看懂，并且我比較追求motivation。追求数学严谨性和简洁性的大神请移步不要看了。不喜欢看各种细节的也能够直接跳着看文中的结论。

实际上这是学习nonparametric bayesian里常见的困惑。有些同学碰到paper或者PPT读着读着发现怎么就弄出一个dirichlet distribution了？这里面有什么intuition吗？
读三遍：要想简单地理解，还得要先从简单的样例讲起。

要想易懂地理解dirichlet distribution，首先先得知道它的特殊版本号beta distribution干了什么。

而要理解beta distribution有什么用。还得了解Bernoulli process。

首先先看Bernoulli process。要理解什么是Bernoulli process，首先先看什么Bernoulli trial。Bernoulli trial简单地说就是一个仅仅有两个结果的简单trial，比方抛硬币。
那我们就用抛一个(不均匀）硬币来说好了，X = 1就是头，X = 0就是字。我们设定q是抛出字的概率。
那什么是bernoulli process？就是从Bernoulli population里随机抽样，或者说就是反复的独立Bernoulli trials，再或者说就是狂抛这枚硬币n次记结果吧（汗=_=）。

好吧，我们就一直抛吧，我们记下X=0的次数k.

如今问题来了。
Q：我们怎样知道这枚硬币抛出字的概率？我们知道。假设能够一直抛下去，最后k/n一定会趋近于q；但是现实中有非常多场合不同意我们总抛硬币，比方我仅仅同意你抛4次。你该怎么回答这个问题？显然你在仅仅抛4次的情况下。k/n基本不靠谱；那你仅仅能"猜一下q大致分布在[0,1]中间的哪些值里会比較合理",但绝不可能得到一个准确的结果比方q就是等于k/n。

举个样例，比方：4次抛掷出现“头头字字”，你肯定认为q在0.5附近比較合理，q在0.2和0.8附近的硬币抛出这个结果应该有点不太可能。q = 0.05和0.95那是有点扯淡了。

你假设把这些值画出来，你会发现q在[0,1]区间内呈现的就是一个中间最高，两边低的情况。从感性上说。这样应当是比較符合常理的。

那我们假设有个什么工具能描写叙述一下这个q可能的分布就好了，比方用一个概率密度函数来描写叙述一下?

这当然能够，但是我们还须要注意还有一个问题。那就是随着n增长观測变多，你每次的概率密度函数该怎么计算？该怎么利用曾经的结果更新（这个在形式上和计算上都非常重要）？

到这里，事实上非常自然地会想到把bayes theorem引进来，由于Bayes能随着不断的观測而更新概率；并且每次仅仅须要前一次的prior等等…在这先不多说bayes有什么好，接下来用更形式化语言来讲事实上说得更清楚。

我们如今用更正规的语言又一次整理一下思路。如今有个硬币得到random sample X = (x1,x2,...xn)，我们须要基于这n次观察的结果来估算一下q在[0,1]中取哪个值比較靠谱，由于我们不能再用单一一个确定的值描写叙述q。所以我们用一个分布函数来描写叙述：有关q的概率密度函数（说得再简单点。即是q在[0,1]“分布律”）。当然，这应当写成一个条件密度：f(q|X)，由于我们总是观測到X的情况下。来猜的q。

如今我们来看看Bayes theorem。看看它能带来什么不同：


在这里P(q)就是关于q的先验概率（所谓先验，就是在得到观察X之前，我们设定的关于q的概率密度函数）。

P(q|x)是观測到x之后得到的关于q的后验概率。注意，到这里公式里出现的都是"概率"，并没有在[0,1]上的概率密度函数出现。

为了让贝叶斯定理和密度函数结合到一块。我们能够从方程两边由P(q)得到f(q)，而由P(q|x)得到f(q|x)。
又注意到P(x)能够认定为是个常量（Q：why？）。能够在分析这类问题时不用管。那么。这里就有个简单的结论——关于q的后验概率密度f(q|x)就和“关于q的先验概率密度乘以一个条件概率"成比例，即：


带着以上这个结论，我们再来看这个抛硬币问题：
连续抛n次，即为一个bernoulli process，则在q确定时，n次抛掷结果确定时，又观察得到k次字的概率能够描写叙述为：
那么f(q|x)就和先验概率密度乘以以上的条件概率是成比例的：

尽管我们不知道。也求不出那个P(x)，但我们知道它是固定的。我们这时事实上已经得到了一个求f(q|x)的公式（仅仅要在n次观測下确定了，f(q)确定了，那么f(q|x)也确定了)。

如今在来看f(q)。

显然，在我们对硬币一无所知的时候，我们应当觉得硬币抛出字的概率q有可能在[0,1]上随意处取值。f(q)在这里取个均匀分布的密度函数是比較合适的，即f(q) = 1 (for q in [0,1]) 。
有些同学可能发现了。这里面，那个乘上[0,1]的均匀分布不就是一个Beta distribution么？
对，它就是一个Beta distribution。Beta distribution由两个參数alpha、beta确定。在这里相应的alpha等于k+1，beta等于n+1-k。

而均匀分布的先验密度函数，就是那个f(q)也能够被beta distribution描写叙述。这时alpha等于1。beta也等于1。

更有意思的是。当我们每多抛一次硬币，出现字时，我们仅仅须要alpha = alpha + 1；出现头仅仅须要beta = beta + 1。这样就能得到须要预计的概率密度f(q|x)…

事实上之所以计算会变得这么简单。是由于被beta distribution描写叙述的prior经过bayes formula前后还是一个beta distribution；这样的不改变函数本身所属family的特性，叫共轭(conjugate)。

ok。说到这你应该明确。对于有两个结果的反复Bernoulli trial，我们用beta prior/distribution就能解决。那么增加我们有n个结果呢？比方抛的是骰子？
这时候上面的Bernoulli trial就要变成有一次trial有k个可能的结果； Bernoulli distribution就变成multinomial distribution。

而beta distribution所表述的先验分布，也要改写成一个多结果版本号的先验分布。

那就是dirichlet distribution。
均匀的先验分布Beta(1,1)也要变成k个结果的Dir(alpha/K)。dirichlet prior也有共轭的性质，所以也是很好计算的。
简而言之。就是由2种外推到k种，而看待它们的视角并没有什么不同。
他们有着很很很相似的形式。

结论1：dirichlet distribution就是由2种结果bernoulli trial导出的beta distribution外推到k种的generalization