标签：坐标系 超过 rac 坐标 bin 转移 状态 bsp n+1
问长度为 2n 的括号序列有多少个.
以 ( 的数量为 x 轴, ) 的数量为 y 轴, 建立坐标系.
初始状态对应 (0, 0) .
假设当前在 (x, y) , 如果下一位为 ( , 那么转移到 (x, y) + (1, 0) , 否则转移到 (x, y) + (0, 1) .
现在要求不超过 y = x 的从 (0, 0) 到 (n, n) 的路径数.
我们考虑用从 (0, 0) 到 (n, n) 的总的路径数, 减去非法的路径数.
总的路径数为 $\binom{2n}{n}$ .
对于非法的路径数, 我们要经过 y = x+1 , 考虑作轴对称, (0, 0) 对应 (-1, 1) , 即求 (-1, 1) 到 (n, n) 的总的路径数, 即为 $\binom{2n}{n-1}$ .
答案为 $$\binom{2n}{n} - \binom{2n}{n-1} = \frac{(2n)!}{n!n!} - \frac{(2n)!n}{n!n!(n+1)} = \frac{\binom{2n}{n}}{n+1}$$ .
所以它是卡特兰数的第 n 项 $C_n = \frac{\binom{2n}{n}}{n+1}$ .
标签：坐标系 超过 rac 坐标 bin 转移 状态 bsp n+1
原文地址：http://www.cnblogs.com/Sdchr/p/7294205.html
