从NIM问题说起

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巴什博奕（BashGame）：一堆n个物品，两个人轮流从这堆物品中取物，规定每次至少取一个，最多取m个，最后取光者得胜；
显然，如果n=m+1，那么由于一次最多只能取m个，所以，无论先取者拿走多少个，后取者都能够一次拿走剩余的物品，后者取胜。因此我们发现了如何取胜的法则：如果n=（m+1）r+s，（r为任意自然数，s≤m),那么先取者要拿走s个物品，如果后取者拿走k（≤m)个，那么先取者再拿走m+1-k个，结果剩下（m+1）（r-1）个，以后保持这样的取法，那么先取者肯定获胜。总之，要保持给对手留下（m+1）的倍数，就能最后获胜。

威佐夫博奕（WythoffGame）：有两堆各若干个物品，两个人轮流从某一堆或同时从两堆中取同样多的物品，规定每次至少取一个，多者不限，最后取光者得胜。这也就是本书中提到的NIM问题;

结论：记两堆物品数量<a,b>；第n组不安全局面<a(n),b(n)>满足：a(n)+n=b(n) and a(n)=min(N-A(N-1)并B(n-1));其中N:所有正整数，A(n)={a1,.....a(n)},B(n)={b1.....b(n)};

那么可以直接根据上述结论求解，初始值：a1=1,b1=2，对给定数量的两堆物品，判断是否满足不安全局面，满足，先取者必败，否则先取者有胜利机会；算法复杂度O(N)；

当然还有O(1)的公式可以解决问题：a(n) = [(1 + sqrt(5)) / 2 * n], b(n) = [(3 + sqrt(5)) / 2 * n]；我们可以使用一个通项公式计算出所有不安全局面；

问题中必输态具有的性质:对于必输数对(a,b),假定a < b,具有两个性质,1.任何一个自然数在数对中都仅出现一次,任意一个b-a的差值也只出现一次,同时知道第n个点对的差值是n；

关于证明及后续处理可以参考这篇博文；

维基百科NIM参考；

还有一个相似问题：桌子上有N堆硬币，数量为a1,a2,······an；两个玩家每次可以从任意一堆中取走任意个硬币（>0），最后将硬币取光的玩家胜；

结论：它是先摸者必输当且仅当a1^a2^...^an=0，其中^表示异或(xor)运算；

相关证明可参考这篇博文；

关于异或运算：

a=a^b^b

可以使用这一位运算性质进行交换操作；

 1 struct RESULT
 2 {
 3     int a,b;
 4 };
 5 
 6 void swap(RESULT &num)
 7 {
 8     num.a=num.a^num.b;
 9     num.b=num.a^num.b;
10     num.a=num.a^num.b;
11 }
12 
13 int main( )
14 {
15     RESULT tmp;
16     tmp.a=1;
17     tmp.b=2;
18     swap(tmp);
19     cout<<tmp.a<<ends<<tmp.b<<endl;
20     return 0;
21 }

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原文地址：http://www.cnblogs.com/chengyuz/p/3949231.html