标签：平衡二叉树 博客 存在 long 结束 链表 roo 翻译 map
（如果硬要翻译标题的话。。。trie from try to die。。。好像很不错诶。。。不如这么写trie=try+die得了。。。）
trie是什么？1. 字典树 2.集合
（其实两个都对啊喂）
一颗普通的trie树一般类似于这样(图片来源于http://dongxicheng.org/structure/trietree/）：
绿色的是根节点，如果字典集为全体小写字母的话，每一个节点就会有26个子节点（可以为空）。
（不过这些东西大佬们已经写了很多博客了在这里就不冗述了）
那么来看看trie的第二个十分十分十分重要的功能：集合。
如果不保存字母集，甚至不保存字符串，如果只保存“数”呢？
直接挂上maxlongint这么多的子节点？？？虽然只有一层（插入是O(1)），但是查询的话是O(n)的（因为无法有maxlongint的空间，所以查找相当于链表查找）。
或许会想到存储十进制下的每一位，不过怎么存呢？
从低位往高位存？好像只能检索某个数字是否存在，以及支持插入和删除，别忘了集合起码可以实现：插入、删除、查询某个数是否存在、查询某个数的排名、查询排名为k的数、查询某个数的前驱、查询某个数的后继。
（不过如果只需要判断某个数是否存在和插入以及删除的话，STL的map就已经实现了。）
先不说功能如何拓展，首先如果这么插入的话会发现树的高度与最大的那个数有关，看起来很不爽，那么就需要让它看起来比较好看，于是可以引入前导零了——把每个数都补成位数相同（在前面加上0）。
然后可以发现，这棵树最底层是插入的数的全集，但是遍历这颗树的时候从顶向下遍历比较舒服，于是就可以把这棵树重组一下了！从高位往低位进行插入！
这样的话会发现这棵树就可以支持所有的操作了！因为两个数字比较大小是可以从高位进行比较的！而且这些数的位数都相同所以从上往下遍历是可以实现的。
比如说查询排名，假设当前查到的数字的位数上的数为x，那么只要把同层所有小于x的数的size加一块就行了。
如果要查询第k大，那么就需要枚举一下当前位数以及之前位数的size之和，如果大于k的话就往当前位数左边走，否则往右面走，直到恰好小于k，然后k减掉这个值并递归到当前位数右面的那个位数后往下走。
（好像说的有点迷。。。不过这段其实没啥用。。。除非空间卡的很紧需要压一下位。。。不过那样的话还不如写个treap。。。）
然后可以发现这样的话代码实现太麻烦了，而且时间复杂度也变得很迷。
或许可以耗费一点空间而变得好写一些！比如说改成二进制！
改成二进制有如下几个好处：
1.计算机内存储的就是二进制，而且C/C++对位运算处理十分友善。
2.二进制下不是0就是1，不需要枚举所有的位数。
3.枚举位数十分好写，在本文后面的代码实现中可以看到。
对于排名查询和第k大查询跟前文的没什么区别，对于前驱和后继的话其实可以通过这两个而实现。
代码实现上，排名查询实际上返回的是小于该数的个数，而第k大查询正如其名。
那么来看一下前驱和后继如何查询（假设查询的这个数是x）：
1.前驱：x的前驱就是kth(rank(x))。小于x的个数事实上就是比x小且最大的那个数的排名。
2.后继：x的后继就是kth(rank(x+1)+1)。最后一个x的排名再往后一个排名就是第一个比x大的数的排名。
当然有利也有弊，01trie也带来了一些不好的地方：
1.空间消耗过大，如果有n个数字那么空间消耗为O(32n)，因为一个int是32字节。
2.不支持浮点数插入，当然有两种解决方式，第一种是离散化之后当成int来搞，不过一般题是不支持离线的样子，第二种是有负数存在，这样可以加上一个数使得所有数都大于等于零（输出的时候再减去就行），第三种是存在浮点数，这时可以乘上10的若干次方成为一个整数，第四种是插入的是非数字，不过这样的话只能离线读进去后hash编码了。
在存储的时候有两种选择，一个是指针，一个是数组。
指针的话代码写起来比较符合人类的正常认知（从左到右），数组比较反人类（从里到外），不过有一种利用C/C++的地址运算符（方括号）实现的类指针写法（见本文后面的实现）。
但本文还并没有结束，01trie还有一种更有趣的用法，可以支持静态区间查询，也就是所谓的可持久化trie。
考虑新插入数的时候，建立一颗新的trie，然后每次查询[l,r]的时候将第r棵trie的出现次数与l-1棵trie的出现次数相减就是[l,r]的trie，然后就可以在这上面进行一系列trie的操作了。
但是，这么做的话空间复杂度是O(n^2)的，但是可以发现没有修改操作，每次只是添加一个数，也就是说只修改了一条链，那么每次只要将没修改的子节点接入到上一棵trie的子节点上就行。
附录一：tyvj平衡二叉树（01trie实现）
1 #include <cstdio> 2 const int N = 100010 * 33; 3 int n, x, y, ch[N][2], num[N], tot, root = ++ tot; 4 #define walk for(int i = 31, rt = root, t ; ~i ; i --) 5 #define cond(cd, st) if(x == cd) st; 6 void ins(int val, int c) { 7 val += (int)1e7; 8 walk { 9 if(!rt[ch][t = val >> i & 1]) rt[ch][t] = ++ tot; 10 (rt = rt[ch][t])[num] += c; 11 } 12 } 13 int rak(int val, int ret = 0, int t = 0) { 14 val += (int)1e7; 15 walk { 16 if((t = val >> i & 1)) ret += rt[ch][0][num]; 17 rt = rt[ch][t]; 18 } 19 return ret; 20 } 21 int kth(int k, int ret = 0) { 22 walk 23 if(k > rt[ch][0][num]) ret |= 1 << i, k -= rt[ch][0][num], rt = rt[ch][1]; 24 else rt = rt[ch][0]; 25 return ret - (int)1e7; 26 } 27 int main() { 28 scanf("%d", &n); 29 while(n --) { 30 scanf("%d%d", &x, &y); 31 cond(1, ins(y, 1)); 32 cond(2, ins(y, -1)); 33 cond(3, printf("%d\n", rak(y) + 1)); 34 cond(4, printf("%d\n", kth(y))); 35 cond(5, printf("%d\n", kth(rak(y)))); 36 cond(6, printf("%d\n", kth(rak(y + 1) + 1))); 37 } 38 }
trie从入门到入殓（trie=try+die）trie from try to die
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原文地址：http://www.cnblogs.com/KingSann/p/7341335.html
