ML—朴素贝叶斯

华电北风吹
日期：2015/12/12

朴素贝叶斯算法和高斯判别分析一样同属于生成模型。但朴素贝叶斯算法须要特征条件独立性如果，即样本各个特征之间相互独立。

一、朴素贝叶斯模型
朴素贝叶斯算法通过训练数据集学习联合概率分布$p(x,y),当中x=(x_1,x_2,...,x_n) \in R^n,y\in R$。详细的对于K分类问题就是须要学习一个类别的先验概率分布$p(y=c_k),k=1,2,...,K$和每一个类别下的条件概率分布(如式1-1)
$p(x|y)=p(x_1,x_2,...,x_n|y) \tag{1-1}$
因为朴素贝叶斯算法没有如果特征的分布，因此须要将每一个特征量化为离散型变量，然后学习各个特征水平下的条件概率。

如果各个特征$x_i$被分别量化为$S_i$个水平，那么共同拥有$K+K\prod_{i=1}^{n}{S_i}$个须要学习的參数。
可是，为了使朴素贝叶斯算法变得简单点—主要是降低參数个数，就强加了一个条件概率分布的独立性如果(详细如式1-2)
$p(x|y)=p(x_1,x_2,...,x_n|y)=\prod_{i=1}^{n}{P(x_i|y)} \tag{1-2}$
这样须要学习的參数个数就变为$K+K\sum_{i=1}^{n}{S_i}$个，大大的简化了模型。

二、朴素贝叶斯參数预计
在条件独立性如果下，贝叶斯模型的參数学习就简化为类别先验概率$p(y=c_k)$和条件概率$p(x_i|y)$的学习。

1、极大似然预计
对于训练数据集$(x^{(i)},y^{(i)}),x^{(i)}\in R^n,y^{(i)}\in R$，似然函数例如以下,
$L(\phi_y,\phi_{x|y})=\prod_{i=1}^{m}{p(x^{(i)},y^{(i)})}=\prod_{i=1}^{m}{p(y^{(i)})\prod_{j=1}^{n}p(x_j^{(i)}|y^{(i)})} \tag{2-1}$
结合$\sum_{y}{\phi_y}=1$以及$\sum_{}^{S_i}p(x_{i}|y)=1$,能够easy得到下式(简单的求偏导就可以，两式均是)：
$\phi_{y=k}=\frac{\sum_{i=1}^{m}1\{y^{(i)}=k\}}{m}\tag{2-2}$
$\phi_{x_i=j|y=k}=\frac{\sum_{i=1}^{m}1\{y^{(i)}=k \bigcap x_i=j\}}{\sum_{i=1}^{m}1\{y^{(i)}=k\}}\tag{2-3}$

2、古德-图灵预计
主要用于解决统计样本不足的概率预计问题，主要思想是在统计中相信可靠的统计数据，而对不可信的统计数据打折扣的一种概率预计方法。同一时候将折扣出来的那一小部分概率给予为看见的事件。

3、贝叶斯预计(拉普拉斯光滑)
在公式2-2和2-3中。会出现分子分母同为0的情况。解决这样的情况的方案例如以下：
$\phi_{y=k}=\frac{\sum_{i=1}^{m}1\{y^{(i)}=k\}+\lambda}{m+K\lambda}\tag{2-4}$
$\phi_{x_i=j|y=k}=\frac{\sum_{i=1}^{m}1\{y^{(i)}=k \bigcap x_i=j\}+\lambda}{\sum_{i=1}^{m}1\{y^{(i)}=k\}+S_j\lambda}\tag{2-5}$
当中$\lambda\geq 0$.一般取$\lambda=1$。

三、朴素贝叶斯决策方法—最大后验概率
对于測试数据$x\in R^n$，朴素贝叶斯模型採用贝叶斯规则决策。详细表述例如以下：
$p(y|x)=arg\max_k p(y=k)p(x|y=k)$
採用后验概率最大的类别作为模型输出类别。

如今细致想想感觉朴素贝叶斯跟k-means逻辑上的思路还是比較接近的。