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某次模拟赛 交换

时间:2017-08-13 16:53:21      阅读:9      评论:0      收藏:0      [点我收藏+]

标签:border   美的   inpu   cell   处理   考试   连续   区间dp   没有   

题目描述 Description

给定一个{0, 1, 2, 3, … , n - 1}的排列 p。一个{0, 1, 2 , … , n - 2}的排列 q 被认为是优美的排列,当且仅当 q 满足下列条件:
对排列 s = {0, 1, 2, 3, ..., n - 1}进行 n – 1 次交换。
1. 交换 s[q0],s[q0 + 1]
2. 交换 s[q1],s[q1 + 1]

最后能使得排列 s = p.
问有多少个优美的排列,答案对 10^9+7 取模。

输入描述 Input Description

第一行一个正整数 n.
第二行 n 个整数代表排列 p.

输出描述 Output Description

仅一行表示答案。

样例输入 Sample Input

3
1 2 0

样例输出 Sample Output

1

数据范围及提示 Data Size & Hint

 30%: n <= 10

100%: n <= 50

之前的一些废话:《摔跤吧爸爸》这部电影真是太感动了

题解:还是觉得这种题挺难的,考试时候想不到正解的话花几分钟把30分拿了其实也挺爽的。

控制交换次数为n-1,所以我们可以这么考虑:考虑倒着处理,比如交换 (i, i + 1),那么前面的所有数不管怎么交换都无法到后面去(下标恒小于等于 i),后面的数也是一样到不了前面。说明这最后一次交换前,就要求对于所有的 x <= i, y > i,px<py。所以交换前左边的数是连续的,右边也是连续的。由于交换前,前面和后面的数是互相不干涉的,所以就归结成了两个子问题。(这段话是搬运题解而来的)

想到这里,就不太难了,很明显的区间DP:dp[i][j]表示将当前序列的第i个数到第j个数换成最终序列的方案数,只要区间长度确定了,那么交换次数也确定了,所以没有必要再单开一个状态来存交换次数。根据区间DP的套路,转移肯定是枚举中间点,但是还有一个限制:假如要在[L,R]中选取第k和第k+1个数进行交换,那么交换之后[L,K]中的数是再也不可能换到K以后了的,[K+1,R]中的数也不可能换到K+1以前了,所以需要保证交换第k和第k+1个数后,新序列中[L,K]的数都小于等于K,而[K+1,R]的数都大于K。只有满足以上限制的才能进行转移。转移方程是:dp[L,R]+=dp[L,K]*dp[K+1,R]*C(R-L,K-L-1),至于为什么要乘上一个组合数...自己想一想吧。

然后需要一个组合数预处理。

代码:目前暂时无法得到。。

总结:突破口在于控制交换次数,算是一种经验吧。

某次模拟赛 交换

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