标签：mod -- frame copy this 有一个 func strong tail
01背包问题，是用来介绍动态规划算法最经典的例子，网上关于01背包问题的讲解也很多，我写这篇文章力争做到用最简单的方式，最少的公式把01背包问题讲解透彻。
01背包的状态转换方程 f[i,j] = Max{ f[i-1,j-Wi]+Pi( j >= Wi ), f[i-1,j] }
f[i,j]表示在前i件物品中选择若干件放在承重为 j 的背包中，可以取得的最大价值。
Pi表示第i件物品的价值。
决策：为了背包中物品总价值最大化，第 i件物品应该放入背包中吗 ？
题目描述：
有编号分别为a,b,c,d,e的五件物品，它们的重量分别是2,2,6,5,4，它们的价值分别是6,3,5,4,6，现在给你个承重为10的背包，如何让背包里装入的物品具有最大的价值总和？
| name |
weight |
value |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
| a |
2 |
6 |
0 |
6 |
6 |
9 |
9 |
12 |
12 |
15 |
15 |
15 |
| b |
2 |
3 |
0 |
3 |
3 |
6 |
6 |
9 |
9 |
9 |
10 |
11 |
| c |
6 |
5 |
0 |
0 |
0 |
6 |
6 |
6 |
6 |
6 |
10 |
11 |
| d |
5 |
4 |
0 |
0 |
0 |
6 |
6 |
6 |
6 |
6 |
10 |
10 |
| e |
4 |
6 |
0 |
0 |
0 |
6 |
6 |
6 |
6 |
6 |
6 |
6 |
只要你能通过找规律手工填写出上面这张表就算理解了01背包的动态规划算法。
首先要明确这张表是至底向上，从左到右生成的。
为了叙述方便，用e2单元格表示e行2列的单元格，这个单元格的意义是用来表示只有物品e时，有个承重为2的背包，那么这个背包的最大价值是0，因为e物品的重量是4，背包装不了。
对于d2单元格，表示只有物品e，d时,承重为2的背包,所能装入的最大价值，仍然是0，因为物品e,d都不是这个背包能装的。
同理，c2=0，b2=3,a2=6。
对于承重为8的背包，a8=15,是怎么得出的呢？
根据01背包的状态转换方程，需要考察两个值，
一个是f[i-1,j],对于这个例子来说就是b8的值9，另一个是f[i-1,j-Wi]+Pi；
在这里，
f[i-1,j]表示我有一个承重为8的背包，当只有物品b,c,d,e四件可选时，这个背包能装入的最大价值
f[i-1,j-Wi]表示我有一个承重为6的背包（等于当前背包承重减去物品a的重量），当只有物品b,c,d,e四件可选时，这个背包能装入的最大价值
f[i-1,j-Wi]就是指单元格b6,值为9，Pi指的是a物品的价值，即6
由于f[i-1,j-Wi]+Pi = 9 + 6 = 15 大于f[i-1,j] = 9，所以物品a应该放入承重为8的背包
以下是actionscript3 的代码
- public function get01PackageAnswer(bagItems:Array,bagSize:int):Array
- {
- var bagMatrix:Array=[];
- var i:int;
- var item:PackageItem;
- for(i=0;i<bagItems.length;i++)
- {
- bagMatrix[i] = [0];
- }
- for(i=1;i<=bagSize;i++)
- {
- for(var j:int=0;j<bagItems.length;j++)
- {
- item = bagItems[j] as PackageItem;
- if(item.weight > i)
- {
-
- if(j==0)
- {
- bagMatrix[j][i] = 0;
- }
- else
- {
- bagMatrix[j][i]=bagMatrix[j-1][i];
- }
- }
- else
- {
-
- var itemInBag:int;
- if(j==0)
- {
- bagMatrix[j][i] = item.value;
- continue;
- }
- else
- {
- itemInBag = bagMatrix[j-1][i-item.weight]+item.value;
- }
- bagMatrix[j][i] = (bagMatrix[j-1][i] > itemInBag ? bagMatrix[j-1][i] : itemInBag)
- }
- }
- }
-
- var answers:Array=[];
- var curSize:int = bagSize;
- for(i=bagItems.length-1;i>=0;i--)
- {
- item = bagItems[i] as PackageItem;
- if(curSize==0)
- {
- break;
- }
- if(i==0 && curSize > 0)
- {
- answers.push(item.name);
- break;
- }
- if(bagMatrix[i][curSize]-bagMatrix[i-1][curSize-item.weight]==item.value)
- {
- answers.push(item.name);
- curSize -= item.weight;
- }
- }
- return answers;
- }
PackageItem类
- public class PackageItem
- {
- public var name:String;
- public var weight:int;
- public var value:int;
- public function PackageItem(name:String,weight:int,value:int)
- {
- this.name = name;
- this.weight = weight;
- this.value = value;
- }
- }
测试代码
- var nameArr:Array=[‘a‘,‘b‘,‘c‘,‘d‘,‘e‘];
- var weightArr:Array=[2,2,6,5,4];
- var valueArr:Array=[6,3,5,4,6];
- var bagItems:Array=[];
- for(var i:int=0;i<nameArr.length;i++)
- {
- var bagItem:PackageItem = new PackageItem(nameArr[i],weightArr[i],valueArr[i]);
- bagItems[i]=bagItem;
- }
- var arr:Array = ac.get01PackageAnswer(bagItems,10);
动态规划之01背包问题（最易理解的讲解）
标签：mod -- frame copy this 有一个 func strong tail
原文地址：http://www.cnblogs.com/yangchunchun/p/7360597.html
