标签：des   style   blog   http   color   os   io   ar   for   

Saving Beans

2
1 2 5
2 1 5

3
3
Hint
Hint

For sample 1, squirrels will put no more than 2 beans in one tree. Since trees are different, we can label them as 1, 2 … and so on. 
The 3 ways are: put no beans, put 1 bean in tree 1 and put 2 beans in tree 1. For sample 2, the 3 ways are:
 put no beans, put 1 bean in tree 1 and put 1 bean in tree 2.
 

以下转载于：

http://blog.csdn.net/tju_virus/article/details/7843248

题目相当于求n个数的和不超过m的方案数。

如果和恰好等于m，那么就等价于方程x1+x2+...+xn = m的解的个数，利用插板法可以得到方案数为：

(m+1)*(m+2)...(m+n-1)  = C(m+n-1,n-1) = C(m+n-1,m)

现在就需要求不大于m的，相当于对i = 0,1...,m对C(n+i-1,i)求和，根据公式C(n,k) = C(n-1,k)+C(n-1,k-1)得

C(n-1,0)+C(n,1)+...+C(n+m-1,m)

= C(n,0)+C(n,1)+C(n+1,2)+...+C(n+m-1,m)

= C(n+m,m)

现在就是要求C(n+m,m) % p,其中p是素数。

然后利用Lucas定理的模板就可以轻松的求得C(n+m,m) % p的值

下面简单介绍一下Lucas定理：

Lucas定理是用来求 C(n,m) mod p的值,p是素数（从n取m组合，模上p）。
描述为:
Lucas(n,m,p)=C(n%p,m%p)* Lucas(n/p,m/p,p)
Lucas(x,0,p)=1;

A、B是非负整数，p是质数。AB写成p进制：A=a[n]a[n-1]...a[0]，B=b[n]b[n-1]...b[0]。

则组合数C(A,B)与C(a[n],b[n])*C(a[n-1],b[n-1])*...*C(a[0],b[0])  modp同余

即：Lucas(n,m,p)=c(n%p,m%p)*Lucas(n/p,m/p,p) 

简单的理解就是：

以求解n! % p 为例，把n分段，每p个一段，每一段求得结果是一样的。但是需要单独处理每一段的末尾p,2p,...,把p提取出来，会发现剩下的数正好又是(n/p)! ，相当于

划归了一个子问题，这样递归求解即可。

这个是单独处理n！的情况，当然C(n,m)就是n！/(m! *（ｎ－ｍ）！），每一个阶乘都用上面的方法处理的话，就是Lucas定理了

Lucas最大的数据处理能力是p在10^5左右。

而C(a,b) =a! / ( b! * (a-b)! ) mod p

其实就是求 ( a! / (a-b)!)  * ( b! )^(p-2) mod p

  (上面这一步变换是根据费马小定理：假如p是质数，且a,p互质，那么a的（p-1）次方除以p的余数恒为1,

那么a和a^(p-2)互为乘法逆元，则（b / a) = (b * a^(p-2) ) mod p)

代码：

#include <iostream>
#include <string.h>
#include <cmath>
#define ll long long
using namespace std;
const int maxn=100002;
ll n,m,p;
ll fac[maxn];

void getfac(ll p)//预处理阶层
{
    fac[0]=1;
    for(int i=1;i<=p;i++)
        fac[i]=fac[i-1]*i%p;
}

ll power(ll a,ll n,ll p)//快速幂运算
{
    ll ans=1;
    while(n)
    {
        if(n&1)
            ans=ans*a%p;
        a=a*a%p;
        n/=2;
    }
    return ans;
}

ll lucas(ll n,ll m,ll p)
{
    ll ans=1;
    while(n&&m)
    {
        ll a=n%p;
        ll b=m%p;
        if(a<b) return 0;
        ans=(ans*fac[a]*power(fac[b]*fac[a-b]%p,p-2,p))%p;//  fac[b]*fac[a-b]后面别忘了%p，否则WA
        n/=p;
        m/=p;
    }
    return ans;
}


int main()
{
    int t;cin>>t;
    while(t--)
    {
        cin>>n>>m>>p;
        getfac(p);
        cout<<lucas(n+m,m,p)<<endl;
    }
    return 0;
}

ll lucas(ll n,ll m,ll p)
{
    ll ans=1;
    while(n&&m)
    {
        ll a=n%p;
        ll b=m%p;
        if(a<b) return 0;
        ans=(ans*fac[a]*power(fac[b]*fac[a-b]%p,p-2,p))%p;//  fac[b]*fac[a-b]后面别忘了%p，否则WA
        n/=p;
        m/=p;
    }
    return ans;
}

int Lucas(lld n,lld m,lld p)  
{  
    if(m==0)  
        return 1;  
    return((lld)Cm(n%p,m%p,p)*(lld)Lucas(n/p,m/p,p))%p;  
} 

int Cm(lld n,lld m,lld p)  
{  
    lld a = 1,b = 1;  
    if(m > n) return 0;  
    //实现(a!/(a-b)!) * (b!)^(p-2)) mod p,由于n比较大，所以，此处不知道有什么好的优化  
    while(m)  
    {  
        a = (a * n) % p;  
        b = (b * m) % p;  
        m--;  
        n--;  
    }  
    return ((lld)a * (lld)Pow(b,p-2,p))%p;  
}

[ACM] hdu 3037 Saving Beans (Lucas定理，组合数取模）

标签：des   style   blog   http   color   os   io   ar   for   

原文地址：http://blog.csdn.net/sr_19930829/article/details/39058487