标签：使用 答案 顺序 example 组成 top 三角形 多少 公式
卡特兰数：规定C0＝1，而C1＝1，C2＝2，C3＝5，C4＝14，C5＝42，C6＝132，C7＝429，C8＝1430，C9＝4862，C10＝16796，
C11＝58786，C12＝208012，C13＝742900，C14＝2674440，C15＝9694845·········································
卡塔兰数的一般项公式为 
另类递归式： h(n)=((4*n-2)/(n+1))*h(n-1);
Cn的另一个表达形式为
h(n)= h(0)*h(n-1) + h(1)*h(n-2) + ... + h(n-1)h(0) (其中n>=2)
hai可以这样推导出来：
|
n |
推到过程 |
Cn |
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1 |
1 |
1 |
|
2 |
1 1 |
2 |
|
3 |
1 2 2 |
5 |
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4 |
1 3 5 5 |
14 |
|
5 |
1 4 9 14 14 |
42 |
|
6 |
1 5 14 28 42 42 |
132 |
|
7 |
1 6 20 48 90 132 132 |
429 |
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··· |
··· ··· |
··· |
所以，在做题的时候，我们应该用上面的公式Cn=Ck*Cn-k (k=1,2``n)来判断是否使用于katalan数来解决问题，合适就列出前几项来判断推到出答案
总结了一下，最典型的四类应用：（实质上却都一样，无非是递归等式的应用，就看你能不能分解问题写出递归式了）
1.括号化问题。
矩阵链乘： P=a1×a2×a3×……×an，依据乘法结合律，不改变其顺序，只用括号表示成对的乘积，试问有几种括号化的方案？(h(n)种)
2.出栈次序问题。
一个栈(无穷大)的进栈序列为1,2,3,..n,有多少个不同的出栈序列?
类似：有2n个人排成一行进入剧场。入场费5元。其中只有n个人有一张5元钞票，另外n人只有10元钞票，剧院无其它钞票，问有多少中方法使得只要有10元的人买票，售票处就有5元的钞票找零？(将持5元者到达视作将5元入栈，持10元者到达视作使栈中某5元出栈)
3.将多边行划分为三角形问题。
将一个凸N+2多边形区域分成三角形区域的方法数?
类似：一位大城市的律师在她住所以北n个街区和以东n个街区处工作。每天她走2n个街区去上班。如果她
从不穿越（但可以碰到）从家到办公室的对角线，那么有多少条可能的道路？
类似：在圆上选择2n个点,将这些点成对连接起来使得所得到的n条线段不相交的方法数?
4.给顶节点组成二叉树的问题。
给定N个节点，能构成多少种不同的二叉树？
（能构成h（N）个）
Catalan数的解法
Catalan数的组合公式为 Cn=C(2n,n) / (n+1);
此数的递归公式为 h(n ) = h(n-1)*(4*n-2) / (n+1)
卡特兰数真是一个神奇的数字，很多组合问题的数量都和它有关系，例如：
Cn= n对括号正确匹配组成的字符串数，例如 3对括号能够组成：
((())) ()(()) ()()() (())() (()())
Cn= n+1个数相乘，所有的括号方案数。例如， 4个数相乘的括号方案为：
((ab)c)d (a(bc))d (ab)(cd) a((bc)d) a(b(cd))
Cn= 拥有 n+1 个叶子节点的二叉树的数量。例如 4个叶子节点的所有二叉树形态：
下面是一些大公司的笔试题
先来一道阿里巴巴的笔试题目：说16个人按顺序去买烧饼，其中8个人每人身上只有一张5块钱，另外8个人每人身上只有一张10块钱。烧饼5块一个，开始时烧饼店老板身上没有钱。16个顾客互相不通气，每人只买一个。问这16个人共有多少种排列方法能避免找不开钱的情况出现。
C8=1430，所以总数=1430*8！*8！
2012腾讯实习招聘笔试题
在图书馆一共6个人在排队，3个还《面试宝典》一书，3个在借《面试宝典》一书，图书馆此时没有了面试宝典了，求他们排队的总数？
C3=5；所以总数为5*3！*3！=180.
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原文地址：http://www.cnblogs.com/henuLiGang/p/7374601.html
