HihoCoder - 1297 数论四·扩展欧几里德

小Hi：首先可以我俩现在的情况列出一个式子：

s1+v1*t=s2+v2*t-k*m (v1<v2)
		

也就是经过t时间过后，速度快的人刚好超过了速度慢的人k圈，且到达同一个位置。

将这个式子进行变换得到：

(v1-v2)*t+k*m=(s2-s1)
		

即原式子变成了形如"Ax+By=C"的情况，我们要求解的是一组(x,y)使得原公式成立。

小Ho：形如"Ax+By=C"，也就是说我们令A=(v1-v2),B=m,C=(s2-s1),x=t,y=k。

小Hi：恩，没错。

求解该式子的算法我们称为扩展欧几里德算法。

该算法分为两个部分：

(1) 判定是否存在解

对于形如"Ax+By=C"的式子，其存在解的条件为C为A和B最大公约数的整数倍。

我们将A和B的最大公约数记为gcd(A,B)。因此其有解的条件是C=n*gcd(A,B)。

那么我们应该如何来求解gcd(A,B)呢？

一个朴素的算法是枚举1~min(A,B)，最大的一个能同时被A,B整除的数即gcd(A,B)。显然这个算法是非常没有效率的。

为了求解gcd(A,B)，欧几里德提出了一个辗转相除法：

首先要证明一个定理：gcd(A,B) = gcd(B, A mod B)

证明：
假设A = k*B+r，有r = A mod B。不妨设d为A和B的一个任意一个公约数，则有A = pd, B = qd。
由r = A - k*B = pd - k*qd = (p - kq)*d，所以有d也为r的约数，因此d是B和A mod B的公约数。
由于对任意一个A和B的公约数都满足这个性质，gcd(A,B)也满足，因此有gcd(A,B)=gcd(B,A mod B)。
		

利用这个性质，我们可以得到算法：

A mod B = 0, 则B为gcd(A,B)
A mod B ≠ 0, 则gcd(A,B) = gcd(B, A mod B)
		

通过不断的模运算，数据的规模也越来越小，因此能够快速得收敛到一个解。将其写成伪代码为：

gcd(A, B):
	If (A mod B == 0) Then
		Return B
	End If
	Return gcd(B, A mod B)
		

(2) 求解

在判定有解之后，我们需要在其基础上再求出一组(x,y)。由于A,B,C均是gcd(A,B)的整数倍，因此可以将它们都缩小gcd(A,B)倍。即A‘=A/gcd(A,B),B‘=B/gcd(A,B),C‘=C/gcd(A,B)。

化简为A‘x+B‘y=C‘，gcd(A‘,B‘)=1，即A‘,B‘互质。

此时，我们可以先求解出A‘x+B‘y=1的解(x‘,y‘)，再将其扩大C‘倍，即为我们要求的最后解(x,y)=(C‘x‘, C‘y‘)。

那么接下来我们来研究如何求解A‘x+B‘y=1：

假设A>B>0，同时我们设：

A * x[1] + B * y[1] = gcd(A, B)
B * x[2] + (A mod B) * y[2] = gcd(B, A mod B)
		

已知gcd(A,B)=gcd(B, A mod B)，因此有：

	A * x[1] + B * y[1] = B * x[2] + (A mod B) * y[2]
=>	A * x[1] + B * y[1] = B * x[2] + (A - kB) * y[2]    // A = kB + r
=>	A * x[1] + B * y[1] = A * y[2] + B * x[2] - kB * y[2]
=>	A * x[1] + B * y[1] = A * y[2] + B * (x[2] - ky[2])
=>	x[1] = y[2], y[1] = (x[2] - ky[2])
		

利用这个性质，我们可以递归的去求解(x,y)。

其终止条件为gcd(A, B)=B，此时对应的(x,y)=(0,1)

将这个过程写成伪代码为：

extend_gcd(A, B):
	If (A mod B == 0) Then
		Return (0, 1)
	End If
	(tempX, tempY) = extend_gcd(B, A mod B)
	x = tempY
	y = tempX - (A / B) * tempY
	Return (x, y)	
		

小Ho：那么我只需要把A=(v1-v2),B=m,C=(s2-s1),x=t,y=k代入就可以得到t了么？

小Hi：是的，在已知A,B,C的情况下，我们的确能够顺利求解出一组合法的(x,y)。

但是在求解过程中，我们并没有保证x是最小的非负整数，它不能直接作为我们的解。

小Ho：那还需要做怎样的处理么？

小Hi：我们需要将(A‘,B‘,x‘,y‘)扩充为一个解系。

由于A‘B‘是互质的，所以可以将A‘x‘+B‘y‘=1扩展为：

	A‘x‘+B‘y‘+(u+(-u))A‘B‘=1
=>	(x‘ + uB‘)*A‘ + (y‘ - uA‘)*B‘ = 1
=>	X = x‘ + uB‘, Y = y‘ - uA‘
		

可以求得最小的X为(x‘+uB‘) mod B‘，(x‘+uB‘>0)

同时我们还需要将X扩大C‘倍，因此最后解为：

x = (x‘*C‘) mod B‘
		

若x<0，则不断累加B‘，直到x>0为止。

那么最后，小Ho你来总结一下主体部分的伪代码吧！

小Ho：好的，最后的代码为：

solve(s1, s2, v1, v2, m):
	A = v1 - v2
	B = m
	C = s2 - s1
	
	If (A < 0) Then
		A = A + m // 相对距离变化
	End If
	D = gcd(A, B)
	
	If (C mod D) Then
		Return -1
	End If
	
	A = A / D
	B = B / D
	C = C / D
	
	(x, y) = extend_gcd(A, B)
	x = (x * C) mod B
	While (x < 0)
		x = x + B
	End While
	Return x