高数吧两道证明题

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1.设$y=f(x),x\in (-\infty,+\infty)$的图形关于$y=a,y=b$均对称$(a< b),$求证：$y=f(x)$是周期并求其周期.

证：由题可得：$$f(a-x)=f(a+x)$$

令$$x=a+x,$$

得$$f(2a+x)=f(x).$$

同理可得：$$f(2b+x)=f(x)$$

所以$$f(2b+x)=f(2a+x)$$

令$$x=x-2a,$$

所以$$f(x)=f(x+2b-2a)$$

所以$f(x)$是周期函数,周期$T=2(b-a).$

注：无特殊说明，求周期一般指最小正周期.

2.证明：$$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{n!}{n^n}=0.$$

证：因为$$\frac{n!}{n^n}=\frac{1}{n}\cdot\frac2n\cdot\cdots\cdot\frac nn<\frac1n$$

取极限，由夹逼定理可得极限为0.

高数吧两道证明题

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原文地址：http://www.cnblogs.com/hepengzhang/p/3957114.html