3D打印技术之切片引擎（5）

【此系列文章基于熔融沉积( fused depostion modeling, FDM )成形工艺】
从这一篇文章開始，就開始说填充。在3D打印切片技术中，填充算法是最核心的部分。3D打印技术的经常使用的指标包含：打印速度，稳固性，柔韧性，逼真度，密度（关系着使用打印材料的多少）。都与填充算法有着直接的关系。能够说衡量一个切片引擎的优劣主要看它的填充算法是否优越。

事实上我開始研发切片引擎的时候，因为不是全部的模型打印都须要支撑，并且针对边界的分层技术又比較easy实现，所曾经面的算法开发时间非常短，大部分时间耗在了填充算法的研究上。也就是填充算法的不断优化使得我的引擎的打印质量不断的接近于skeinforge。
填充算法是一个世界难题。眼下世界上最先进的填充算法也还是问题多多。怎样最优化的填充使得模型兼顾稳固逼真，并且密度小，打印速度快。这不是简单的二维几何填充所能做的到的。我大学的专业是临床医学。记得人体解剖学中提到过的骨小梁结构，事实上才是最合理的填充方式，可是怎样用数学实现骨小梁。任重而道远啊。

行，立即进入正题。在这一篇文章里，我就先说一下填充算法中最简单的一种——线填充。
首先。须要引用计算机图形学二维图形的扫描线填充算法。例如以下图：

简单的描写叙述：射线与多边形相交，与边界交点个数为奇数。为内点。偶数为外点或者边界点。可是。还有几种特殊情况须要特殊处理：每当一条扫描线经过多边形的一个顶点时，扫描线在该顶点处与多边形的两条边相交，这种情况可能导致在这条扫描线的交点列表上要添加两个点。

当扫描线与奇数边相交时，这时候须要把扫描线与两側的有公共交点的线的交点算作一个交点。

例如以下图b线：

另外。还有边界线与扫描线重合的情况，须要全然规避掉。
对于最简单的线填充，掌握这个原理基本就没有问题了。所须要注意的就是上下两层不能同一方向的填充，避免打印的模型不稳定，能够考虑採用依次採用x轴平行的方向和y轴平行的方向。这样用一组等间距的平行线扫描，採用上述的算法。最简单的线填充就完毕了。

但这种线填充会引出一个问题，回想一下在第一讲中说到的——一个成功的切片引擎应该满足的几点，这种填充尽管看似基本满足要求。但绝大多数情况在这几点上做的非常不够，尤其是某一层是个狭长的结构。每一行的扫描线就非常的短，打印机就走走停停，不断的更换打印方向。打印速度受到极大的影响，更重要的是扫描线对边界冲击次数太多。肯定要影响到表面的效果，影响美观。并且频繁的走走停停，更换方向，对机器的寿命也是极大的消耗。
能够考虑这种解决方式，第一步：把某一层的二维图形切割成若干个凸集或者近似凸集。第二步，对每个凸集进行主元分析。

第三步，利用得到的主元方向。先把$x$轴或者$y$轴变换到与主元平行的方向，这里如果该线性变换为$M$，利用上述的算法进行填充，然后再利用$M^{-1}$变换回原来的位置。
主元分析是利用协方差矩阵确定边界向量的主元向量。这里的点是二维，可简单表示：

以下就開始构造协方差矩阵$C$，$C$的第$j$行第$k$列元素例如以下（$1\leqslant j,k\leqslant 2$）: