标签：子集 phi 子空间 www 复数 http tor 数学 www.
本文收集了从 2009 年至今复旦大学数学学院高等代数历届期中考试精选的大题, 其中有的大题由习题课老师或任课老师自编而来, 有的大题由其他大学的教材或学习指导书中的题目或考研试题改编而来, 也有相当部分的大题已经融入到复旦高等代数学习指导书 (第三版) 中了. 这里我们将不会公布这些精选大题的解答, 但会附加一些注解, 以供读者参考.
本科 16 级高代 I 期中考试
四、(10分) 设 $A=(a_{ij})$ 是 $n$ 阶非零实矩阵, 其中 $n\geq 3$ 为奇数. 设 $A_{ij}$ 为 $a_{ij}$ 的代数余子式, 若对任意的 $1\leq i,j\leq n$, $a_{ij}+A_{ij}=0$ 成立, 试求 $|A|$ 的值.
五、(10分) 设 $\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n$ 是 $n$ 个两两不同的实数, 求证: 在实数域上连续函数全体构成的线性空间 $V$ 中, 向量组 $\{e^{\alpha_1x^2},e^{\alpha_2x^2},\cdots,e^{\alpha_nx^2}\}$ 线性无关.
六、(10分) 设 $n$ 阶方阵 $A$ 为奇异阵且满足 $\mathrm{tr\,}(A^*)=0$, 求证: $(A^*)^2=0$.
七、(10分) 设 $M_n(K)$ 为数域 $K$ 上 $n$ 阶方阵全体构成的线性空间, $W$ 是由 $M_n(K)$ 的子集 $\{AB-BA\mid A,B\in M_n(K)\}$ 张成的子空间, 试求 $W$ 的维数及其一组基.
注 第四大题与白皮书例 2.21 和例 2.26 相关; 第五大题与白皮书第三章解答题第 3 题相关; 第六大题与白皮书例 3.77 和例 2.11 相关; 第七大题与白皮书例 2.40 和基础矩阵的性质 (白皮书第 55 页) 相关, 注意本题不必利用白皮书例 7.54 的结论 (这个结论太强, 并用到了 Jordan 标准型理论).
本科 16 级高代 II 期中考试
四、(10分) 求证: 存在 $n$ 阶实方阵 $A$, 满足 $A^2+2A+5I_n=0$ 的充分必要条件是 $n$ 为偶数.
五、(10分) 设 $n$ 阶复矩阵 $A,B$ 满足 $AB-BA=\mu B$, 其中 $\mu$ 为非零复数. 证明: 若 $A$ 的全体不同特征值只有 $k$ 个, 则 $$\sum_{\lambda\in\mathbb{C}}\Big(n-r(\lambda I_n-A)\Big)\leq n-r(B^k).$$
六、(10分) 设 $V$ 是数域 $K$ 上的 $n$ 维线性空间, $\varphi$ 是 $V$ 上的线性变换, 满足 $\varphi$ 的极小多项式等于其特征多项式. 设 $U$ 是 $V$ 的任一非零 $\varphi-$不变子空间, 证明: 限制变换 $\varphi|_U$ 的极小多项式也等于其特征多项式.
七、(10分) 设 $V$ 是 $n$ 阶复矩阵构成的线性空间, $V$ 上的线性变换 $\varphi$ 定义为 $\varphi(X)=AXA‘$, 证明: $\varphi$ 可对角化的充分必要条件是 $A$ 可对角化.
注 第四大题是有理标准型的直接应用; 第五大题的推广请参考博文《从一道常见习题的自然延伸谈起》; 第六大题请参考博文《Jordan 块的几何》; 第七大题与白皮书例 6.71 有关.
标签：子集 phi 子空间 www 复数 http tor 数学 www.
原文地址：http://www.cnblogs.com/torsor/p/7397055.html
