18-感知机模型在经典数据集鸢尾花上的应用

今天去新宿舍打扫了一天，一切都是新的。立秋了，天气也凉爽起来，让人可以静下心来，不再那么浮躁。如果用心生活，时间是会慢下来的。你会享受多出N倍的人生。浮光掠影，追求效率，牺牲的是本该属于自己的趣味盎然的过程。自从脱离大公司的束缚，不再有周末和下班的概念。然而工作成了一种打怪升级的冒险历程，有点类似游戏。周一不再如上坟，工作和休息也不再泾渭分明。不到两年时间，比在大公司工作十年的经历更值得回忆。有时后悔在大公司呆太久了，单调的生活真的是杀时间的利器，会让你觉得逝去年华如流水，然而并没有什么值得追忆。

上周我们学习了感知机模型，它的损失函数定义为误分类点到分离超平面的距离之和。之前的线性回归模型中，我们用的损失函数是实际值y和理论值的误差平方和。可能有的同学觉得奇怪，为啥损失函数用的不一样呢？因为我们要求w和b，使得损失函数最小，对于可导函数，我们的套路是用梯度下降法，不断更新w和b，向极值点方向靠拢。在线性回归模型中，实际值y和理论值的误差平方和是可导函数，所以是可行的。而在感知机模型中，实际值y和理论值的取值只可能是+1或-1，它们的误差平方和与w,b并没有明显的函数关系，也就不能通过梯度下降法来求使得损失函数极小化的w和b了。这个时候，我们发现误分类点到分离超平面的距离（注释1），和w，b都能扯上关系，而且很幸运也是连续可导的，所以就用这个作为损失函数，这样我们可以继续使用梯度下降法来更新w和b，使得损失函数向极值点方向靠拢。

【注释1：误分类点到超平面的距离==】

用这个损失函数有个缺点，即它只计算了误分类点到分离超平面的距离，正确分类点的损失函数应该是0，那么针对每个点，我们首先要判断它是否是误分类点，如果是才需要计算梯度，更新w，b。

损失函数L(w,b)的梯度通过偏导计算：

随机选取一个误分类点，根据上面的规则，计算新的w, b然后进行更新：

如果有一个通用的公式，对于所有点，无论是正确分类还是错误分类都适用，只是在正确分类点的情况下不更新w，b，能实现吗？数学家说SO EASY，于是有了下面改良版的权重更新规则：

这意味着，仅当针对给定训练实例 (x,y) 产生的输出值 f(x)与预期的输出值 y不同时，权重向量才会发生改变。并且输出值 f(x)与预期的输出值 y不同时，意味着y-f(x)=y-(-y)=2*y【记住 f(x)和y的取值只可能是+1或-1】，即对于误分类点，w(j):=w(j)+2*α*y*x(j)，这样和上周推导的权重更新公式是不是很像了？只是之前的学习率η=2*α。下面我们用算法实现这个改良版的权重更新规则：

（代码及数据集地址：http://pan.baidu.com/s/1nu6P6sx）

用感知机模型来训练大名鼎鼎的鸢尾花数据集：

这里只考虑两种花 Setosa 和 Versicolor，以及两种特征 sepal length 和 petal length。但是 Perceptron Model 其实可以解决多类别分类问题, 参考 one-vs-all。

• 读入数据

  

• 画散点图

• 训练感知机模型

结果 error 的确最后为 0, 证明是 convergent 的, 且分类效果应该说是非常准确了。

• 画决策边界（可以打印看下np.meshgrid和xx1.ravel的值）

虽然 Perceptron Model 在上面 Iris 例子里表现得很好，但在其他问题上却不一定表现得好。Frank Rosenblatt 从数学上证明了，在线性可分的数据里，Perceptron 的学习规则会收敛，但在线性不可分的情况下，却无法收敛。这个时候只能通过定义最大迭代次数来控制了。