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ST表,稀疏表,用于求解经典的RMQ问题。即区间最值问题。
Problem:
给定n个数和q个询问,对于给定的每个询问有l,r,求区间[l,r]的最大值。.
Solution:
主要思想是倍增和区间dp。
状态:dp[i][j] 为闭区间[i,i+2^j-1]的最值。
这个状态与转移方程的关系很大,即闭区间的范围涉及到了转移方程的简便性。
转移方程:dp[i][j]=max(dp[i][j-1],dp[i+2^(j-1)][j-1])。
这是显然的,但这里有个细节:第一个项的范围为[i,i+2^(j-1)-1],即第i个数到第i+2^(j-1)个数的前一个数,而第二个项的范围是[i+2^(j-1),i+2^j-1]。这里容易弄混,所以导致无法理解整个方程,或者写错。
询问:[l,r]区间的最大值。
令g=log2(r-l+1)向下取整。则区间的最值就是max(dp[l][g],dp[r-2^g+1][g])。
好的,我们开始对这些方程做一番分析。假设现在有5个数,为如下情况。这些分别是,dp[1][0],dp[2][0]....dp[5][0]
接着,我们可以统计到红色区域的最大值。这些分别是dp[1][1],dp[2][1]...dp[4][1]
最后,我们再统计到dp[1][2],dp[2][2],也就是1~1+4-1和2~2+4-1的最大值。
直到整个求完。(5后面的点因为皆为0,所以在取区间最大值的时候可以直接忽略)
有了这些后,如果要求l~r的最大值,我们需要让两个区间覆盖这个区间。假设我们询问1~5的最大值。
按道理来讲,我们假设2^x=5-1+1,然后dp[1][x]不就完事了?然而很可惜,x可能为小数。因此,x我们应当向下取整x‘,那么显然这样子取dp[1][x‘]会比dp[1][x]少一段。
于是我们再采用dp[5-2^x‘+1][x‘]的方式来弥补。什么意思呢?
像这样,在两个互相被覆盖的区间里取一个最大值,是不是完美的解决了这个问题呢?而这个x就等于log2(x),x‘即为log2(x)向下取整。
你可能会说这样有没有可能会没有全部覆盖,这很显然不可能。因为l+2^x‘<r-2^x‘ 等价于 2^(x‘+1)<r-l。而显然这个x‘+1>=x,所以2^(x‘+1)>2^x=r-l+1>r-l。因此原不等式绝对不成立。
以上,ST表是一个很好的倍增思想入门。在LCA中也用到了与ST表非常类似的倍增思想。
ST表很简单。请注意常数,很容易就会了。Luogu P3865即为模板题。
下面是代码:
#include<bits/stdc++.h> using namespace std; template <typename T> T gn(T &x){ x=0; T plus=1; char ch=getchar(); while(ch<‘0‘||ch>‘9‘)plus=(ch==‘-‘?-1:1),ch=getchar(); while(ch>=‘0‘&&ch<=‘9‘)x=x*10+ch-‘0‘,ch=getchar(); return x*plus; } const int N=1e5+10; int a[N][25]; template <typename T> inline int mmax(T &a,T &b){return a<b?b:a;} inline int dpow(int a,int x){ int ret=1; while(x){ if(x&1)ret*=a; a*=a; x>>=1; } return ret; } int main(){ int n,m; gn(n),gn(m); for(int i=1;i<=n;i++) gn(a[i][0]); int plus=1; for(int j=1;j<25;j++){ for(int i=1;i+plus<=n;i++) a[i][j]=mmax(a[i][j-1],a[i+plus][j-1]); plus*=2; } int na,nb,x; for(int i=0;i<m;i++){ gn(na),gn(nb); x=log2(nb-na+1); printf("%d\n",mmax(a[na][x],a[nb-dpow(2,x)+1][x])); } return 0; }
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原文地址:http://www.cnblogs.com/acxblog/p/7413865.html