码迷,mamicode.com
首页 > 其他好文 > 详细

[模板]ST表浅析

时间:2017-08-22 23:19:26      阅读:188      评论:0      收藏:0      [点我收藏+]

标签:images   int   type   max   pen   情况   for   红色   img   

ST表,稀疏表,用于求解经典的RMQ问题。即区间最值问题。

Problem:

给定n个数和q个询问,对于给定的每个询问有l,r,求区间[l,r]的最大值。.

Solution:

主要思想是倍增和区间dp。

状态:dp[i][j] 为闭区间[i,i+2^j-1]的最值。

这个状态与转移方程的关系很大,即闭区间的范围涉及到了转移方程的简便性。

转移方程:dp[i][j]=max(dp[i][j-1],dp[i+2^(j-1)][j-1])

这是显然的,但这里有个细节:第一个项的范围为[i,i+2^(j-1)-1],即第i个数到第i+2^(j-1)个数的前一个数,而第二个项的范围是[i+2^(j-1),i+2^j-1]。这里容易弄混,所以导致无法理解整个方程,或者写错。

询问:[l,r]区间的最大值。

令g=log2(r-l+1)向下取整。则区间的最值就是max(dp[l][g],dp[r-2^g+1][g])

好的,我们开始对这些方程做一番分析。假设现在有5个数,为如下情况。这些分别是,dp[1][0],dp[2][0]....dp[5][0]

技术分享

接着,我们可以统计到红色区域的最大值。这些分别是dp[1][1],dp[2][1]...dp[4][1]

技术分享

 最后,我们再统计到dp[1][2],dp[2][2],也就是1~1+4-1和2~2+4-1的最大值。

 技术分享

直到整个求完。(5后面的点因为皆为0,所以在取区间最大值的时候可以直接忽略)

有了这些后,如果要求l~r的最大值,我们需要让两个区间覆盖这个区间。假设我们询问1~5的最大值。

按道理来讲,我们假设2^x=5-1+1,然后dp[1][x]不就完事了?然而很可惜,x可能为小数。因此,x我们应当向下取整x‘,那么显然这样子取dp[1][x‘]会比dp[1][x]少一段。

于是我们再采用dp[5-2^x‘+1][x‘]的方式来弥补。什么意思呢?

 

技术分享

像这样,在两个互相被覆盖的区间里取一个最大值,是不是完美的解决了这个问题呢?而这个x就等于log2(x),x‘即为log2(x)向下取整。

你可能会说这样有没有可能会没有全部覆盖,这很显然不可能。因为l+2^x‘<r-2^x‘ 等价于 2^(x‘+1)<r-l。而显然这个x‘+1>=x,所以2^(x‘+1)>2^x=r-l+1>r-l。因此原不等式绝对不成立。

以上,ST表是一个很好的倍增思想入门。在LCA中也用到了与ST表非常类似的倍增思想。

ST表很简单。请注意常数,很容易就会了。Luogu P3865即为模板题。

下面是代码:

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
template <typename T> T gn(T &x){
    x=0;
    T plus=1;
    char ch=getchar();
    while(ch<0||ch>9)plus=(ch==-?-1:1),ch=getchar();
    while(ch>=0&&ch<=9)x=x*10+ch-0,ch=getchar();
    return x*plus;
}
const int N=1e5+10;
int a[N][25];
template <typename T> inline int mmax(T &a,T &b){return a<b?b:a;}
inline int dpow(int a,int x){
    int ret=1;
    while(x){
        if(x&1)ret*=a;
        a*=a;
        x>>=1;
    }
    return ret;
}

int main(){
    int n,m;
    gn(n),gn(m);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        gn(a[i][0]);
    int plus=1;
    for(int j=1;j<25;j++){
        for(int i=1;i+plus<=n;i++)
            a[i][j]=mmax(a[i][j-1],a[i+plus][j-1]);
        plus*=2;
    }
    int na,nb,x;
    for(int i=0;i<m;i++){
        gn(na),gn(nb);
        x=log2(nb-na+1);
        printf("%d\n",mmax(a[na][x],a[nb-dpow(2,x)+1][x]));
    }
    return 0;
}

 

[模板]ST表浅析

标签:images   int   type   max   pen   情况   for   红色   img   

原文地址:http://www.cnblogs.com/acxblog/p/7413865.html

(0)
(0)
   
举报
评论 一句话评论(0
登录后才能评论!
© 2014 mamicode.com 版权所有  联系我们:gaon5@hotmail.com
迷上了代码!