统计1的个数问题

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时间：2014.09.06

地点：基地

一、问题描述                        

  给定一个十进制正整数N，从1，2，... ，N ，求出所有出现1的个数。比如N=12时，有 1 10 11 12三个数中有1出现，出现次数为5次，返回结果为5 。

二、分析                               

1.暴力法

  一般暴力法都比较容易想到，虽然效率上不是很好，但往往能从暴力法中发现一些规律或技巧，所以暴力法还是值得思考的。

  首先想到真对某一个数字统计1的个数问题，即是不断的将数字右移，看最低位是否为1，这个问题解决后，剩下的问题就是对数据集的每一个数字进行一次遍历，统计1的总数的简单问题了。

  对于十进制数字右移有一些常用的常识，值得好好加以利用，虽然说是常识，但一不小心容易出错。

第一条：十进制数字N每右移一位，即是将该十进制数字除以10，每左移移位即是将该十进制数字乘以10。这种技巧在二进制数字表达方式也是如此，二进制数字右移即除以2，左移即乘以2，不过对于二进制而言，有效率更高的移位操作。

第二条：获取一个十进制数字的最低位即是将该十进制数字模10。在二进制数字中也一样，不过那里更为人所知的是换了一种说法，模2看奇偶性，模2结果有两种，为1则最低位为1，为奇数，模2结果为0则最低位为0，为偶数。

暴力法只涉这两条，看十进制数字最低位，因此不断地右移看最低位即可。代码如下：

static int get_ones_count(int n)
{
	int count = 0;
	while (n != 0)
	{
		count += (n % 10 == 1) ? 1 : 0;
		n /= 10;
	}
	return count;
}
int GetTotalOnes(int N)
{
	int count = 0;
	for (int i = 1; i <= N; ++i)
	{
		count += get_ones_count(i);
	}
	return count;
}

2.深入分析

  浅层分析只能得暴力法，粗暴而不给力，如果能利用数字之间的一些规律和信息，变能更有效的解决问题。《编程之美》里有谈论到这个问题的分析，但我更喜欢倾向于借助高中数学里的排列组合知识，虽然道理大致相同，但更容易理解，思路如下：

  对于一个十进制正整数数不妨设其表示为N=123x56，百位用x表示，目的是统计集合[ 1，2，......  123x56 ]中1的个数，将集合中每个数字都用0补齐为6位数，对结果毫无影响，于是接下来的工作就是统计该集合中所有数的个位、十位、百位、...为1的情况。假设此时要统计百位为1的情况。即问题转换为：集合中百位为1且比123x56小的问题。

  第一种情况：N的百位x=0，那么在集合中数的模式为，百位以上部分可取【000,001，...,122】均可，共123中情况，百位固定（因为正是要统计百位为1的情况），百位一下的位没一位都有10中情况，组合起来即122*10*10种。于是总结为：

若给定十进制整数中目标位为0，则所有数中该位上1的个数为：

  目标位高位数字*（10^目标位以下数字的位数）

  第二种情况：N的百位x=1，首先上面情况包含在其中，即高位部分取【000,001,...,122】时和上面情况一一样，另外，当取123也还有部分满足，这一部分表现为低位取【00,01，...56】。于是可总结为：

若给定十进制整数中目标位为0，则所有数中该位上1的个数为：

  目标位以上的高位数字*（10^目标位以下数字的位数）+目标位以下的低位数字+1

第三种情况：N的百位为x>1，则更加容易分析，即高位部分取【000,001,002,......123】供，123中情况，低位可能依旧。于是可总结为：

若给定十进制整数中目标位大于1，则所有数中该位上1的个数为：

  （目标位以上的高位数字+1）*（10^目标位以下数字的位数）

有了这些分析，代码很容易写出：

static int get_ones_count(int n)
{
	int count = 0;
	while (n != 0)
	{
		count += (n % 10 == 1) ? 1 : 0;
		n /= 10;
	}
	return count;
}
int GetTotalOnes(int N)
{
	int count = 0;
	for (int i = 1; i <= N; ++i)
	{
		count += get_ones_count(i);
	}
	return count;
}

第四条：获得一个十进制数字的高位部分即用该数字右移。

统计1的个数问题

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原文地址：http://blog.csdn.net/u012333003/article/details/39098969