最小生成树——Prim算法

时间：2014-09-06 16:00:13 阅读：355 评论：0 收藏：0 [点我收藏+]

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最小生成树是图这一数据结构里最常讨论的方面之一。

先用一下几个概念回忆一下什么是最小生成树：

连通图：任意两个结点之间都有一个路径相连

生成树（Spannirng Tree）：连通图的一个极小的连通子图，它含有图中全部n个顶点，但只有足以构成一棵树的n-1条边

最小生成树（Minimum Spannirng Tree）：连通图的最小代价的生成树（各边的权值之和最小）

最小生成树性质（MST性质）：

设G=(V，E)是一个连通网络，U是顶点集V的一个真子集。若(u，v)是G中一条“一个端点在U中(例如：u∈U)，另一个端点不在U中的边(例如：v∈V-U)，且(u，v)具有最小权值，则一定存在G的一棵最小生成树包括此边(u，v)。

证明：http://fdcwqmst.blog.163.com/blog/static/164061455201010392833100/

构造最小生成树的两种方法：Prim算法和Kruskal算法。它们都利用了MST性质；都使用贪心策略，一次生成一条权值最小的“安全边”。

下面看一下Prim算法的具体内容。

算法思想：

1. 从图中选取一个节点作为起始节点（也是树的根节点），标记为已达；初始化所有未达节点到树的距离为到根节点的距离；

2. 从剩余未达节点中选取到树距离最短的节点i，标记为已达；更新未达节点到树的距离（如果节点到节点i的距离小于现距离，则更新）；

3. 重复步骤2直到所有n个节点均为已达。

上述过程应该是很清晰的，下面看一下Prim算法的C语言实现：

 1 #define N 10            // 定义最大节点数，实际有几个是几个
 2 #define MAXDIST 100        // 最大距离，表示两个节点间不可达, 为了输入方便设置成100，实际可用INT_MAX
 3 
 4 // 为了计算方便传入的距离矩阵用指针数组的格式，n是节点数
 5 int Prim(int (*map)[N], int n)
 6 {
 7     int i, j;
 8     int minDist, minIndex, totalWeight;
 9     int *visited, *parent, *dist;    // 分别保存节点的已达标志，父节点，到树的距离
10 
11     // 申请空间并清零
12     visited = (int *)malloc(n * sizeof(int));
13     parent = (int *)malloc(n * sizeof(int));
14     dist = (int *)malloc(n * sizeof(int));
15 
16     memset(visited, 0, n * sizeof(int));
17     memset(parent, 0, n * sizeof(int));
18     memset(dist, 0, n * sizeof(int));
19 
20     // 初始化，设置节点0为根节点
21     visited[0] = 1;
22     totalWeight = 0;
23 
24     // 初始化未达节点到树的距离
25     for (i = 1; i < n; ++i)
26     {
27         parent[i] = 0;
28         dist[i] = map[0][i];
29     }
30 
31     printf("\nEdge\tWeight\n");
32 
33     // n - 1次循环找出n - 1条边
34     for (i = 0; i < n - 1; ++i)
35     {
36         minDist = MAXDIST;
37         minIndex = i;
38 
39         // 找出到树距离最小的节点
40         for (j = 1; j < n; ++j)
41         {
42             if (visited[j] == 0 && dist[j] < MAXDIST)
43             {
44                 minDist = dist[j];
45                 minIndex = j;
46             }
47         }
48 
49         if (minIndex == i)        // 所有节点到树的距离都为MAXDIST，说明不是连通图，返回
50         {
51             printf("This is not a connected graph!\n");
52             return MAXDIST;
53         }
54 
55         // 标记并输出找到的节点和边
56         visited[minIndex] = 1;
57         totalWeight += minDist;
58         printf("%d-->%d\t%3d\n", parent[minIndex], minIndex, map[parent[minIndex]][minIndex]);
59 
60         // 更新剩余节点到树的距离
61         for (j = 1; j < n; ++j)
62         {
63             if (visited[j] == 0 && map[j][minIndex] < dist[j])
64             {
65                 parent[j] = minIndex;
66                 dist[j] = map[j][minIndex];
67             }
68         }
69     }
70 
71     printf("\nTotal Weight: %d\n\n", totalWeight);
72 
73     return totalWeight;
74 }

View Code

再写一个测试函数验证一下功能：

 1 int main()
 2 {
 3     int map[N][N];
 4     int i, j;
 5     int n, tmp;
 6 
 7     printf("Num of nodes: ");
 8     scanf("%d", &n);
 9 
10     printf("Distance matrix (lower triangular) : ");
11     for (i = 1; i < n; ++i)
12     {
13         map[i][i] = 0;
14 
15         for (j = 0; j < i; ++j)
16         {
17             scanf("%d", &tmp);
18             map[i][j] = tmp;
19             map[j][i] = tmp;
20         }
21     }
22 
23     Prim(map, n);
24 
25     return 0;
26 }