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最小生成树——Prim算法

时间:2014-09-06 16:00:13      阅读:355      评论:0      收藏:0      [点我收藏+]

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最小生成树是图这一数据结构里最常讨论的方面之一。

 

先用一下几个概念回忆一下什么是最小生成树:

        连通图:任意两个结点之间都有一个路径相连

        生成树(Spannirng Tree):连通图的一个极小的连通子图,它含有图中全部n个顶点,但只有足以构成一棵树的n-1条边

        最小生成树(Minimum Spannirng Tree):连通图的最小代价的生成树(各边的权值之和最小)

 

最小生成树性质(MST性质)

        设G=(V,E)是一个连通网络,U是顶点集V的一个真子集。若(u,v)是G中一条“一个端点在U中(例如:u∈U),另一个端点不在U中的边(例如:v∈V-U),且(u,v)具有最小权值,则一定存在G的一棵最小生成树包括此边(u,v)。

        证明http://fdcwqmst.blog.163.com/blog/static/164061455201010392833100/

 

构造最小生成树的两种方法:Prim算法Kruskal算法。它们都利用了MST性质;都使用贪心策略,一次生成一条权值最小的“安全边”。

 

下面看一下Prim算法的具体内容。

算法思想:

        1. 从图中选取一个节点作为起始节点(也是树的根节点),标记为已达;初始化所有未达节点到树的距离为到根节点的距离;

        2. 从剩余未达节点中选取到树距离最短的节点i,标记为已达;更新未达节点到树的距离(如果节点到节点i的距离小于现距离,则更新);

        3. 重复步骤2直到所有n个节点均为已达。

 

上述过程应该是很清晰的,下面看一下Prim算法的C语言实现: 

bubuko.com,布布扣
 1 #define N 10            // 定义最大节点数,实际有几个是几个
 2 #define MAXDIST 100        // 最大距离,表示两个节点间不可达, 为了输入方便设置成100,实际可用INT_MAX
 3 
 4 // 为了计算方便传入的距离矩阵用指针数组的格式,n是节点数
 5 int Prim(int (*map)[N], int n)
 6 {
 7     int i, j;
 8     int minDist, minIndex, totalWeight;
 9     int *visited, *parent, *dist;    // 分别保存节点的已达标志,父节点,到树的距离
10 
11     // 申请空间并清零
12     visited = (int *)malloc(n * sizeof(int));
13     parent = (int *)malloc(n * sizeof(int));
14     dist = (int *)malloc(n * sizeof(int));
15 
16     memset(visited, 0, n * sizeof(int));
17     memset(parent, 0, n * sizeof(int));
18     memset(dist, 0, n * sizeof(int));
19 
20     // 初始化,设置节点0为根节点
21     visited[0] = 1;
22     totalWeight = 0;
23 
24     // 初始化未达节点到树的距离
25     for (i = 1; i < n; ++i)
26     {
27         parent[i] = 0;
28         dist[i] = map[0][i];
29     }
30 
31     printf("\nEdge\tWeight\n");
32 
33     // n - 1次循环找出n - 1条边
34     for (i = 0; i < n - 1; ++i)
35     {
36         minDist = MAXDIST;
37         minIndex = i;
38 
39         // 找出到树距离最小的节点
40         for (j = 1; j < n; ++j)
41         {
42             if (visited[j] == 0 && dist[j] < MAXDIST)
43             {
44                 minDist = dist[j];
45                 minIndex = j;
46             }
47         }
48 
49         if (minIndex == i)        // 所有节点到树的距离都为MAXDIST,说明不是连通图,返回
50         {
51             printf("This is not a connected graph!\n");
52             return MAXDIST;
53         }
54 
55         // 标记并输出找到的节点和边
56         visited[minIndex] = 1;
57         totalWeight += minDist;
58         printf("%d-->%d\t%3d\n", parent[minIndex], minIndex, map[parent[minIndex]][minIndex]);
59 
60         // 更新剩余节点到树的距离
61         for (j = 1; j < n; ++j)
62         {
63             if (visited[j] == 0 && map[j][minIndex] < dist[j])
64             {
65                 parent[j] = minIndex;
66                 dist[j] = map[j][minIndex];
67             }
68         }
69     }
70 
71     printf("\nTotal Weight: %d\n\n", totalWeight);
72 
73     return totalWeight;
74 }
View Code

 

再写一个测试函数验证一下功能:

bubuko.com,布布扣
 1 int main()
 2 {
 3     int map[N][N];
 4     int i, j;
 5     int n, tmp;
 6 
 7     printf("Num of nodes: ");
 8     scanf("%d", &n);
 9 
10     printf("Distance matrix (lower triangular) : ");
11     for (i = 1; i < n; ++i)
12     {
13         map[i][i] = 0;
14 
15         for (j = 0; j < i; ++j)
16         {
17             scanf("%d", &tmp);
18             map[i][j] = tmp;
19             map[j][i] = tmp;
20         }
21     }
22 
23     Prim(map, n);
24 
25     return 0;
26 }
View Code

 

测试图的距离矩阵如下:

bubuko.com,布布扣

因为无向图矩阵是对称的,所以程序中设置只要输入下三角数据即可,也就是下面这些:

bubuko.com,布布扣

也就是输入的数据是这些: 4 2 5 3 4 1 100 3 100 6 100 100 2 2 4

 

下面是程序运行截图:

bubuko.com,布布扣

 

最小生成树——Prim算法

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原文地址:http://www.cnblogs.com/ltxdzh/p/3959470.html

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