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最小生成树的一些证明

时间:2017-09-02 01:10:05      阅读:263      评论:0      收藏:0      [点我收藏+]

标签:矩形   操作   执行   产生   net   3.1   结果   处理   存在   

转自:关于最小生成树的一些理解

(1)       定义在一棵树里添加一条边,并在产生的圈里删除一条边叫做一次操作。(也就是说换掉一条边并且保证结果是树),则树A和B是无向图的两个生成树,则A可以通过若干次操作变成B。

证:把树看作边的集合,如果B中有一条A没有的边,则把这条边加到A上,A产生一个圈中至少有一条是B中没有的边,把这条边删掉,则A仍然是生成树,A,B集合相同的边多了一条,重复这个过程直到A B包含的边相同。

 

注:这个命题比较容易证,它告诉我们任何两棵生成树都可以通过不断换边得到。(重要的是换边的过程中始终保持是树。)

“可以通过若干次操作”,这个“可以”并没有“特殊”的含义,也就是说我们可以随便加一条B有而A没有的边,总可以找到一条合适的边删掉。

 

(2)       把一个连通无向图的生成树边按权值递增排序,称排好序的边权列表为有序边权列表,则任意两棵最小生成树的有序边权列表是相同的。(算法导论23.1-8)

 

证:设最小生成树有n条边,任意两棵最小生成树分别称为A, B, 如果e是一条边,用w(e)表示该边的权值。

A的边按权值递增排序后为a1, a2,……an   w(a1)≤w(a2)≤……w(an)

B的边按权值递增排序后为b1, b2,……bn  w(b1)≤w(b2)≤……w(bn)

设i是两个边列表中,第一次出现不同边的位置,ai≠bi

不妨设w(ai)≥w(bi)

情形1  如果树A中包含边bi,则一定有j>i使得  bi=aj ,事实上,这时有 w(bi)=w(aj)≥w(ai) ≥w(bi) 故 w(bi)=w(aj)=w(ai),在树A的边列表中交换边ai和 aj的位置并不会影响树A的边权有序列表,两棵树在第i个位置的边变成同一条边。

 

情形2  树A中并不包含边bi,则把bi加到树A上,形成一个圈,由于A是最小生成树,这个圈里任意一条边的权值都不大于w(bi) ,另外,这个圈里存在边aj不在树B中。因此,有w(aj)≤w(bi),且j>i (因为aj不在B中)。于是,有w(bi)≤w(ai)≤w(aj)≤w(bi),因此

w(ai)= w(aj) = w(bi)。那么在树A中把aj换成bi仍然保持它是一棵最小生成树,并不会影响树A的边权有序列表,并且转换成情形1。

 

注:这个命题说明,如果无向图的边权都不相同,则最小生成树是唯一的。但是其逆命题不成立。即如果无向图的最小生成树唯一,则无向图的边权是可能有相同的。例子,比如原图本身就是一棵树,并且有两条边的边权相等。

 

(3)       A,B是同一个无向连通图的两棵不同的最小生成树,则A可以通过若干次(1)中定义的换边操作,并且保证每次结果仍然是最小生成树,最终转换成B。

 

证:做法和(2)类似,也是要找一条树B有但是树A没有的边。事实上(2)的证明过程“情形2”的部分,就已经找到这样一条边了。按照(2)中给出的方法,就可以把A转换成B。

注:上述证明过程证得了和(1)中类似的结论,但是此时的“可以”暂时有“特殊”的含义,至少证明中需要以一定的规则选边。这显得有点不“美观”。那么,是否可以任意选边呢?考虑任意选边造成的“后果”:把任意一条B有而A没有的边加入到A,由于A是最小生成树,所以形成的圈里所有的边的权值都不大于新加的边,那么如果这个圈里没有其他的这种权值的边,换句话说,如果这个圈里的这条边是唯一权值最大的边怎么办呢?或者,如果这个圈里所有和这条边权值相等的边都也在B中,那么该如何保证换边后,A和B相同的边数增多一条呢?下面证明,这些情况不可能出现。

 

(4)       一个连通无向图G,不会有一棵最小生成树包含G的一个圈中全部最大权值的边。

 

证:设图的节点集合是V。反证,假设有一棵最小生成树T包含G中某个圈的全部权值最大的边,设其中一条边是e, 则在树中删掉边e,T-e是不连通的,它把节点分成了两部分(连通分量),A和B=V-A。在原图G中,这条边在一个圈C里,且在C中权值是最大的。则(C-e)是G中一条路,这条路中有节点在A中,也有节点在B中,因此必然有一条边e’,它一端在A中,一端在B中,显然它不在T-e中。于是把e’加入到T-e中,这样形成的是一棵树T’。(|V|-1条边的连通图显然是树),而由于w(e’)<w(e),有w(T’)<w(T),与T是最小生成树矛盾。

 

注:特别地,如果一个圈中权值最大的边唯一,则最小生成树不包含这条边。

(算法导论上习题23.1-5要证明:如果一条边是一个圈中权值最大的边,一定有一棵最小生成树不包含它。由这个结论可以立刻得出。当圈中最大权值的边唯一时,算法导论上这个命题稍弱。)

至此证明了任何两棵不同的最小生成树A,B,可以随意选一条B有而A没有的边,添加到A上,由(4)的结论,形成的圈里,至少有一条边和这条新加的边权值相同,并且它不在B中,删掉它。这样可以最终把A转化成B。

 

(5)       对于一个连通无向图的生成树,只考虑它的边权,形成的有序边权列表中,最小生成树是有序边权列表字典序最小的。(字典序就是通常的定义,两个序列A,B的字典序相同当且仅当A=B。否则,序列A,B出现最早位置的不相等的元素时,如果序列A的该位置元素更小,则序列A字典序小,反之,则序列B的字典序更小。如果直到一个序列结束都没有这样的位置,则较短的序列字典序小)。

 

证:设A是一棵最小生成树,而B是不是一棵最小生成树。利用(2)的结论,因为任何最小生成树的有序边权列表是相同的,所以可以用Krusal算法产生的最小生成树的有序边权列表。Krusal算法的优点是按边权顺序加边,并且当边权相等时,只要不形成圈,加哪条边都可以形成最小生成树。把B的边都按递增顺序排序:

B的边按权值递增排序后为b1, b2,……bn  w(b1)≤w(b2)≤……w(bn)

用Krusal算法求原图的一棵最小生成树,

具体地,加第i条边时(1≤i≤n),如果对该加的边e,有w(e)=w(bi),则选择bi代替e加入。不可能出现w(e)>w(bi),因为Krusal算法是按边权由小到大考虑加边的,如果出现这种情况,说明,选择bi加入是不合法的——会形成圈,而此时的图是树B的子图,这与B是树矛盾。

 

注:有了(2)的结论,结合Krusal算法的过程,知道Krusal算法加边的顺序构成的边权列表就是一个有序边权列表。于是,只考虑有序边权列表时,可以用Krusal算法产生的特殊的最小生成树代替任何一棵最小生成树。

 

如果一棵树是最小生成树,则对它采取一次(1)中的操作,显然,它的总权值不减。那么它的逆命题是不是成立?也就是如果说一棵生成树,对它采取一次(1)中的操作后,它的总权值不减,它是否是最小生成树?再换句话说,一棵非最小生成树,是否一定可以找到一条边进行(1)中的操作后,总权值会减小?这个命题看起来是显然的,但是是否有可能一棵非最小生成树当前无论怎样采取(1)中的操作都会造成总权值暂时的增大,而至少要操作两次,才能把权值降低呢?答案是不会的。

 

(6)       一棵树不是最小生成树,则一定存在一个(1)中描述的操作,使得操作之后,它的总权值减小。

 

证:设A不是最小生成树,A的边按权值递增排序后为a1, a2,……an   w(a1)≤w(a2)≤……w(an)。利用Krusal算法,加第i条边时(1≤i≤n),如果对该加的边ei,有w(ei)=w(ai),则选择ai代替ei加入。直到第j次时(1≤j≤n),有w(ej)<w (aj),则仍加入ej,自此后仍执行普通的Krusal算法(即任意处理权值相同的边),这样生成的最小生成树E,有w(ej)<w( aj) 且对所有1≤i<j有ei=ai,由于权值递增关系,ej不在A中,那考虑把ej加入到A中形成的圈,圈里其他任意的边ax,若w(ax)≤w(ej)<w (aj),则有x<j,于是这些边是在第j步之前和Krusal算法一样加入的。因此,圈里至少有一条边ay满足w(ay)≥w (aj)>w(ej) (y≥j>x),于是删除ay可以让A的总权值减小。

 

注:可见确实有这样的操作。于是立刻得出以下结论:

 

(7)       一棵生成树不是最小生成树,则一定存在(1)中的操作,不断进行把它转换成一棵最小生成树,而且每次操作后权树的总权值都会减小。

 

证:由(6)知,存在一个这样的操作,任选一个这样的操作,总权值会减小。这样不断地进行下去,因为不同的生成树的个数是有限的,所以总权值不可能一直减小下去,也不可能无限逼近与一个常数,最终可以使其变成一棵最小生成树。

 

注:由此可知,这种操作也是“任意”选边的,并没有特殊性。如果把一个图的所有生成树看作节点,把对每个生成树进行一次(1)中定义操作看作形成的树作为它的邻居。

那么综合上述结论:形成的图是个无向连通图。任何“局部最优解”也是“全局最优解”(只进行一次操作不能减小总权值,则是最小生成树,可以随意从任何一个“非最优点”,保持权值减小地逐步达到“最优点“)。

 

(8)       如果一棵生成树,任何边都在某棵最小生成树上,则它不一定是最小生成树。

反例:考虑一个长为2,宽为1的矩形。构造一个无向图,节点就是矩形顶点,边就是矩形的边,边权就是矩形边长。显然,原图有两棵最小生成树(“两宽与一长”),所有边都在某棵最小生成树上,但是有两棵生成树不是最小生成树(“两长与一宽”)。

最小生成树的一些证明

标签:矩形   操作   执行   产生   net   3.1   结果   处理   存在   

原文地址:http://www.cnblogs.com/chen-kh/p/7465448.html

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