标签：递归算法 防止 二分查找 优化 logs img 额外 循环 ges
1、O（f(n)）
学术界：O表示算法执行的上界，例如，归并算法的时间复杂度可以是O（nlogn）,同时也是O（n^2）的
业界认为：O表示算法执行的最低上界，归并算法的时间复杂度是O（nlogn）
2、一个时间复杂度问题
一个字符串数组，将一每个字符串进行字母序排序，然后将字符串数组进行字典序排序的时间复杂度
n:数组长度 s:最大的字符串长度
O = s*nlogn （字符串数组排序）+ n* slogs(每个字符串)
3、数据规模 : 1S内可以处理的数据规模
O(N^2) ：10^3~10^4
O(NLOGN) :10^6~10^7
O(n):10^7~10^8
4、空间复杂度：额外开通的数组规模
递归调用是牺牲空间的，系统需要将结果压入栈中，递归深度是多少就占多少空间
5、常见的模板时间复杂度
两个数交换：O(1)
1+2+....+N问题，是一重for循环: O(n)
字符串反转,第一个元素和最后一个元素， for(i = 0; i < n/2; i++)：O（n）
选择排序,双重循环，i递增，j从i+1增：O（n^2）
双重循环：j变化是从1到一个常数：O（n）
二分查找,每次对半的查找，n/2的变化 经过多少次变为1：O（nlogn）
整数变为字符串：while里每次s+n%10,n = n/10: O(logn)
两重循环：n* logn
判断素数：
************* 有循环看循环的起始点，终止点和每次变化
6、验证算法时间复杂度：一层数据规模变化for，数据变化2倍，看运行时间变化
O（n）:数据变化2倍，运行时间变化2倍
O（logn）:随着数据规模的增加，运行时间基本不变
O（n^2）:数据变化2倍，运行时间变化4倍
O（nlong）:数据变化2倍，运行时间变化1倍多
logn算法是最优的，数据规模越大，时间几乎没差别
7、递归算法时间复杂度：递归算法时间复杂度不一定是o(nlogn)
典型排序算法是递归算法：快速排序和归并排序 以及 二分查找的递归实现
7.1递归中只进行一次递归调用
1）递归中只进行一次的递归调用：
o(Logn):递归深度depth*每个递归函数中时间复杂度T = o(depth*T)
2) 1到n的和
3)优化了的求x^n次幂，（只能求n大于0的，计算机在处理基数时会进行舍位操作，所以判断是不是基数）
7.2 递归中多次调用递归，画出递归树
1）
递归深度：2^0 + 2 ^1 + 2 ^2……+2 ^n = 2^(n+1) - 1 = O(2^n) 指数级的
指数的优化：通过剪支、动归为 多项式
搜索树
2）merge排序的时间复杂度O（nlogn）
深度：logn
每个节点处理的数据规模是缩小的,每层n个节点，每个节点O（1）
7.3 主定理可查看更复杂的递归时间复杂度
以实现一个动态数组为例子：构造函数
7.4均分复杂度：
7.5防止复杂度震荡：删除数组的时候处理，当容量为当前的四分之一时，数组减小为size的二分之一。防止再次添加元素出现复杂度震荡。
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