SG函数

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转自：Angel_Kitty

Sprague-Grundy定理（SG定理）：

        游戏和的SG函数等于各个游戏SG函数的Nim和。这样就可以将每一个子游戏分而治之，从而简化了问题。而Bouton定理就是Sprague-Grundy定理在Nim游戏中的直接应用，因为单堆的Nim游戏 SG函数满足 SG(x) = x。对博弈不是很清楚的请参照http://www.cnblogs.com/ECJTUACM-873284962/p/6398385.html进行进一步理解。

SG函数：

        首先定义mex(minimal excludant)运算，这是施加于一个集合的运算，表示最小的不属于这个集合的非负整数。例如mex{0,1,2,4}=3、mex{2,3,5}=0、mex{}=0。

        对于任意状态 x ， 定义 SG(x) = mex(S),其中 S 是 x 后继状态的SG函数值的集合。如 x 有三个后继状态分别为 SG(a),SG(b),SG(c)，那么SG(x) = mex{SG(a),SG(b),SG(c)}。 这样 集合S 的终态必然是空集，所以SG函数的终态为 SG(x) = 0,当且仅当 x 为必败点P时。

【实例】取石子问题

有1堆n个的石子，每次只能取{ 1, 3, 4 }个石子，先取完石子者胜利，那么各个数的SG值为多少？

SG[0]=0，f[]={1,3,4},

x=1 时，可以取走1 - f{1}个石子，剩余{0}个，所以 SG[1] = mex{ SG[0] }= mex{0} = 1;

x=2 时，可以取走2 - f{1}个石子，剩余{1}个，所以 SG[2] = mex{ SG[1] }= mex{1} = 0;

x=3 时，可以取走3 - f{1,3}个石子，剩余{2,0}个，所以 SG[3] = mex{SG[2],SG[0]} = mex{0,0} =1;

x=4 时，可以取走4-  f{1,3,4}个石子，剩余{3,1,0}个，所以 SG[4] = mex{SG[3],SG[1],SG[0]} = mex{1,1,0} = 2;

x=5 时，可以取走5 - f{1,3,4}个石子，剩余{4,2,1}个，所以SG[5] = mex{SG[4],SG[2],SG[1]} =mex{2,0,1} = 3;

以此类推.....

   x        0  1  2  3  4  5  6  7  8....

SG[x]    0  1  0  1  2  3  2  0  1....

由上述实例我们就可以得到SG函数值求解步骤，那么计算1~n的SG函数值步骤如下：

1、使用 数组f 将 可改变当前状态 的方式记录下来。

2、然后我们使用 另一个数组 将当前状态x 的后继状态标记。

3、最后模拟mex运算，也就是我们在标记值中 搜索 未被标记值 的最小值，将其赋值给SG(x)。

4、我们不断的重复 2 - 3 的步骤，就完成了 计算1~n 的函数值。

例题一：

HDU 1536 S-Nim

题目链接：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1536

题目大意：两个人玩Nim游戏，但是对规则进行了改变，每次只能给定集合A={a1,a2....ak}内的石子个数，问先手是否会胜利。

解题思路：这就可以直接用我们上面的结论了，可以将各堆的SG值当成Nim里的堆来用，异或求出sum=sg(x1)^sg(x2)^.....sg(xn),sum如果不等于0，则先手必胜，反之，必败。这里我把sg函数写成了递推的形式，还有一点，vis[]一定要是bool型！！！否则memset()会超时，原来memset()对bool类型的速度int快那么多，今天才知道。。。

代码：

 1 #include<cstdio>
 2 #include<cstring>
 3 const int N=1e4+5;
 4 int sg[N];//存储各个点的SG值
 5 bool vis[N];//vis一定要是bool型,否则memset会超时,vis[i]=true,表示在集合S内 
 6 int s[105];
 7 
 8 //sg函数 
 9 void sg_solve(int k){
10     memset(sg,0,sizeof(sg));
11     for(int i=0;i<N;i++){
12         memset(vis,false,sizeof(vis));
13         for(int j=1;j<=k;j++){
14             //将能够一步到达的状态的SG值存入集合S 
15             if(i-s[j]>=0)
16                 vis[sg[i-s[j]]]=true;
17         }
18         for(int j=0;;j++){
19             if(!vis[j]){
20                 sg[i]=j;
21                 break;
22             }
23         }
24     }
25 }
26 
27 int main(){
28     int k;
29     while(~scanf("%d",&k)&&k){
30         for(int i=1;i<=k;i++){
31             scanf("%d",&s[i]);
32         }
33         sg_solve(k);
34         int n;
35         scanf("%d",&n);
36         while(n--){
37             int m,sum=0;
38             scanf("%d",&m);
39             for(int i=1;i<=m;i++){
40                 int x;
41                 scanf("%d",&x);
42                 sum^=sg[x];
43             }
44             if(sum)
45                 printf("W");
46             else
47                 printf("L");
48         }
49         printf("\n");
50     }
51 }

SG函数

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原文地址：http://www.cnblogs.com/fu3638/p/7475921.html