标签：构造方法 不能 建模 关系 元素 方法 ora 抽屉原理 取出
设 A 是一个非空集合, 若 A 上的一个关系 $\le$ , 满足自反性, 反对称性, 传递性, 则称 $\le$ 是 A 上的一个偏序关系.
即 $\le$ 满足下列条件:
1. $\forall x \in A, x \le x$ .
2. $\forall x, y \in A, x \le y, y \le x \Rightarrow x = y$ .
3. $\forall x, y, z \in A, x \le y, y \le z \Rightarrow x \le z$ .
带偏序关系 $\le$ 的集合 A 叫做偏序集 $(A, \le)$ .
若 $x \in A, y \in A$ , $x \le y$ 或 $y \le x$ , 则称 x 和 y 是可比的, 反之称 x 和 y 不可比.
在偏序集 $(A, \le)$ 中, 对于 $x \in A$ , 若 $\forall y \in A, y \le x \Rightarrow y = x$ , 那么称 x 为偏序集 $(A, \le)$ 中的极小元.
对于 $P \subset A$ , 若 P 中的任意两个元素都是可比的, 则称 P 为 A 的一条链.
对于 $P \subset A$ , 若 P 中的任意两个元素都是不可比的, 则称 P 为 A 的一条反链.
我们尝试将每个元素当做一个点.
若 $x \le y$ , 则将 x 与 y 连一条边.
那么链为一条路径, 反链的任意两个点不在一条路径上.
定理1 对于偏序集 $(A, \le)$ , 设最长链的长度为 r , 则 $(A, \le)$ 可以划分为 r 个但不能再少的反链.
证明
(1) 不能少于 r 个.
反设最少能划分到 x 条反链, x < r .
而我们存在一条长度为 r 的链.
根据抽屉原理, 至少存在一条反链中存在了链 r 中的两个点, 而链 r 中的任意两个点可比, 所以矛盾.
(2) 能达到 r 个.
极小元间都是互补可比的.
我们每次在集合 A 中取出极小元作为一条新的反链.
恰好 r 次能将集合清空.
当然我还想到了另外一种构造方法.
我们令 $L_i = \max_{j} L_j + 1$ .
对图按照 L 进行分层.
那么每次去除第 L 层, 最后也能在 r 次清空.
定理1 的对偶定理被称为 Dilworth 定理.
定理2 ( Dilworth定理 )
对于偏序集 $(A, \le)$ , 设最长反链的长度为 m , 则集合可以被划分为 m 条但不能再少的链.
这里的证明我不大会.
我只会构建与 $\le$ 对偶的偏序关系 $\ge$ , 那么 $(A, \le)$ 的链为 $(A, \ge)$ 中的反链一一对应, $(A, \le)$ 中的反链与 $(A, \ge)$ 中的链一一对应, 然后对 $(A, \ge)$ 应用定理1.
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原文地址：http://www.cnblogs.com/Sdchr/p/7478282.html
