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排列和组合的求解

时间:2017-09-14 16:33:32      阅读:179      评论:0      收藏:0      [点我收藏+]

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1)使用“分类计数原理”还是“分步计数原理”要根据我们完成某件事时采取的方式而定,可以分类来完成这件事时用“分类计数原理”,需要分步来完成这件事时就用“分步计数原理”;那么,怎样确定是分类,还是分步骤?“分类”表现为其中任何一类均可独立完成所给的事件,而“分步”必须把各步骤均完成才能完成所给事件,所以准确理解两个原理强调完成一件事情的几类办法互不干扰,相互独立,彼此间交集为空集,并集为全集,不论哪类办法都能将事情单独完成,分步计数原理强调各步骤缺一不可,需要依次完成所有步骤才能完成这件事,步与步之间互不影响,即前步用什么方法不影响后面的步骤采用的方法。

2)排列与组合定义相近,它们的区别在于是否与顺序有关。

3)复杂的排列问题常常通过试验、画“树图”、“框图”等手段使问题直观化,从而寻求解题途径,由于结果的正确性难于检验,因此常常需要用不同的方法求解来获得检验。

4)按元素的性质进行分类,按事件发生的连续性进行分步是处理排列组合问题的基本思想方法,要注意“至少、至多”等限制词的意义。

5)处理排列、组合综合问题,一般思想是先选元素(组合),后排列,按元素的性质进行“分类”和按事件的过程“分步”,始终是处理排列、组合问题的基本原理和方法,通过解题训练要注意积累和掌握分类和分步的基本技能,保证每步独立,达到分类标准明确,分步层次清楚,不重不漏。

6)在解决排列组合综合问题时,必须深刻理解排列组合的概念,能熟练地对问题进行分类,牢记排列数与组合数公式与组合数性质,容易产生的错误是重复和遗漏计数。

总之,解决排列组合问题的基本规律,即:分类相加,分步相乘,排组分清,加乘明确;有序排列,无序组合;正难则反,间接排除等。

其次,我们在抓住问题的本质特征和规律,灵活运用基本原理和公式进行分析解答的同时,还要注意讲究一些解题策略和方法技巧,使一些看似复杂的问题迎刃而解。下面介绍几种常用的解题方法和策略。

一.特殊元素(位置)的“优先安排法”:对于特殊元素(位置)的排列组合问题,一般先考虑特殊,再考虑其他。

例1、 用0,2,3,4,5,五个数字,组成没有重复数字的三位数,其中偶数共有( )。

A.24个B.30个C.40个D.60个

[分析]由于该三位数为偶数,故末尾数字必为偶数,又因为0不能排首位,故0就是其中的“特殊”元素,应该优先安排,按0排在末尾和0不排在末尾分两类:1)0排末尾时,有A42个,2)0不排在末尾时,则有C21 A31A31个,由分数计数原理,共有偶数A42 + C21 A31A31=30个,选B。

二.总体淘汰法:对于含否定的问题,还可以从总体中把不合要求的除去。如例1中,也可用此法解答:五个数字组成三位数的全排列有A53个,排好后发现0不能排首位,而且数字3,5也不能排末位,这两种排法要排除,故有A53--3A42+ C21A31=30个偶数。

三.合理分类与准确分步含有约束条件的排列组合问题,按元素的性质进行分类,按事情发生的连续过程分步,做到分类标准明确,分步层次清楚,不重不漏。

四.相邻问题用捆绑法:在解决对于某几个元素要求相邻的问题时,先整体考虑,将相邻的元素“捆绑”起来,看作一“大”元素与其余元素排列,然后再考虑大元素内部各元素间顺序的解题策略就是捆绑法.

例2、有8本不同的书;其中数学书3本,外语书2本,其它学科书3本.若将这些书排成一列放在书架上,让数学书排在一起,外语书也恰好排在一起的排法共有( )种.(结果用数值表示)

解:把3本数学书“捆绑”在一起看成一本大书,2本外语书也“捆绑”在一起看成一本大书,与其它3本书一起看作5个元素,共有A55种排法;又3本数学书有A33种排法,2本外语书有A22种排法;根据分步计数原理共有排法A55 A33 A22=1440(种).

注:运用捆绑法解决排列组合问题时,一定要注意“捆绑”起来的大元素内部的顺序问题.

五.不相邻问题用“插空法”:不相邻问题是指要求某些元素不能相邻,由其它元素将它们隔开.解决此类问题可以先将其它元素排好,再将所指定的不相邻的元素插入到它们的间隙及两端位置,故称插空法.

例3、用1、2、3、4、5、6、7、8组成没有重复数字的八位数,要求1与2相邻,2与4相邻,5与6相邻,而7与8不相邻。这样的八位数共有( )个.(用数字作答)

解:由于要求1与2相邻,2与4相邻,可将1、2、4这三个数字捆绑在一起形成一个大元素,这个大元素的内部中间只能排2,两边排1和4,因此大元素内部共有A22种排法,再把5与6也捆绑成一个大元素,其内部也有A22种排法,与数字3共计三个元素,先将这三个元素排好,共有A33种排法,再从前面排好的三个元素形成的间隙及两端共四个位置中任选两个,把要求不相邻的数字7和8插入即可,共有A42种插法,所以符合条件的八位数共有A22 A22 A33 A42=288(种).

注:运用“插空法”解决不相邻问题时,要注意欲插入的位置是否包含两端位置.

六.顺序固定用“除法”:对于某几个元素按一定的顺序排列问题,可先把这几个元素与其他元素一同进行全排列,然后用总的排列数除于这几个元素的全排列数。

例4、6个人排队,甲、乙、丙三人按“甲---乙---丙”顺序排的排队方法有多少种?

分析:不考虑附加条件,排队方法有A66种,而其中甲、乙、丙的A33种排法中只有一种符合条件。故符合条件的排法有A66 ÷A33 =120种。(或A63种)

例5、4个男生和3个女生,高矮不相等,现在将他们排成一行,要求从左到右女生从矮到高排列,有多少种排法。

解:先在7个位置中任取4个给男生,有A74种排法,余下的3个位置给女生,只有一种排法,故有A74种排法。(也可以是A77 ÷A33种)

七.分排问题用“直排法”:把几个元素排成若干排的问题,可采用统一排成一排的排法来处理。

例6、7个人坐两排座位,第一排3个人,第二排坐4个人,则不同的坐法有多少种?

分析:7个人可以在前两排随意就坐,再无其它条件,故两排可看作一排来处理,不同的坐法共有A77种。

八.逐个试验法:题中附加条件增多,直接解决困难时,用试验逐步寻找规律。

例7.将数字1,2,3,4填入标号为1,2,3,4的方格中,每方格填1个,方格标号与所填数字均不相同的填法种数有()

A.6 B.9 C.11 D.23

解:第一方格内可填2或3或4,如第一填2,则第二方格可填1或3或4,若第二方格内填1,则后两方格只有一种方法;若第二方格填3或4,后两方格也只有一种填法。一共有9种填法,故选B

九、构造模型“隔板法”: 对于较复杂的排列问题,可通过设计另一情景,构造一个隔板模型来解决问题。

例8、方程a+b+c+d=12有多少组正整数解?

分析:建立隔板模型:将12个完全相同的球排成一列,在它们之间形成的11个间隙中任意插入3块隔板,把球分成4堆,每一种分法所得4堆球的各堆球的数目,对应为a、b、c、d的一组正整解,故原方程的正整数解的组数共有C113 .

又如方程a+b+c+d=12非负整数解的个数,可用此法解。

十.排除法:对于含“至多”或“至少”的排列组合问题,若直接解答多需进行复杂讨论,可以考虑“总体去杂”,即将总体中不符合条件的排列或组合删除掉,从而计算出符合条件的排列组合数的方法.

例9、从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台,其中至少要甲型与乙型电视机各一台,则不同的取法共有( )种.

A.140种B.80种C.70种D.35种

解:在被取出的3台中,不含甲型或不合乙型的抽取方法均不合题意,因此符合题意的抽取方法有C93-C43-C53=70(种),故选C.

注:这种方法适用于反面的情况明确且易于计算的习题.

十一.逐步探索法:对于情况复杂,不易发现其规律的问题需要认真分析,探索出其规律

例10、从1到100的自然数中,每次取出不同的两个数,使它们的和大于100,则不同的取法种数有多少种。

解:两个数相加中以较小的数为被加数,1+100>100,1为被加数时有1种,2为被加数有2种,…,49为被加数的有49种,50为被加数的有50种,但51为被加数有49种,52为被加数有48种,…,99为被捕加数的只有1种,故不同的取法有(1+2+3+…+50)+(49+48+…+1)=2500种

十二.一一对应法:

例11.在100名选手之间进行单循环淘汰赛(即一场失败要退出比赛)最后产生一名冠军,要比赛几场?

解:要产生一名冠军,要淘汰冠军以外的所有选手,即要淘汰99名选手,要淘汰一名就要进行一场,故比赛99场。

排列和组合的求解

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