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线性筛+莫比乌斯反演
盗波图 来自candy?大神
反演很重要的一条公式就是[gcd(i,j)==1]=
线性筛怎么推呢？
我们分4个步骤，1.先推出f[1]，2.推出f[p],p是一个质数，3.由于线性筛筛的是积性函数，那么当gcd(i,p[j])==1的时候，f[i*p[j]]=f[i]*f[p[j]],4.前三步都比较简单，第四步是if(i%p[j]==0)该怎么办
我们是要推这个东西的值，因为积性函数的约数和也是积性函数，所以这个也可以筛，那么我们考虑对于当前的D，我们用一个pri筛到了D,而且D%pri==0,然后思考一下，这个pri能给这个式子带来什么贡献呢?
很明显，i肯定是几个质数的乘积，否则mu[i]==0，没有意义，那么这个pri肯定对约数和没有贡献了，因为之前筛到的时候已经被计算过了，那个*i^2自然也是不可能受到pri的影响，但是我们看看那个D,现在我们求的是f[D*pri],那么自然D得乘上pri，所以我们得出现在f[i*pri]=f[i]*pri
大概是这样吧
#include<bits/stdc++.h> using namespace std; typedef long long ll; const int N = 10000010, mod = 100000009; int n, m, T; int mu[N], p[N]; bool mark[N]; ll f[N]; void ini() { mu[1] = f[1] = 1; for(int i = 2; i <= 10000000; ++i) { if(!mark[i]) { p[++p[0]] = i; mu[i] = -1; f[i] = ((-(ll)i * (ll)i + i) % mod + mod) % mod; } for(int j = 1; j <= p[0] && i * p[j] <= 10000000; ++j) { mark[i * p[j]] = 1; if(i % p[j] == 0) { mu[i * p[j]] = 0; f[i * p[j]] = f[i] * p[j] % mod; break; } f[i * p[j]] = f[i] * f[p[j]] % mod; mu[i * p[j]] = -mu[i]; } } for(int i = 1; i <= 10000000; ++i) f[i] = (f[i] + f[i - 1]) % mod; } ll Sum(ll x, ll y) { return (x * (x + 1ll) / 2ll % mod) % mod * (y * (y + 1ll) / 2ll % mod) % mod; } void solve(int n, int m) { if(n > m) swap(n, m); ll ret = 0; for(int i = 1, j = 0; i <= n; i = j + 1) { j = min(n / (n / i), m / (m / i)); ret = (ret + Sum(n / i, m / i) % mod * ((f[j] - f[i - 1]) % mod + mod) % mod) % mod; } printf("%lld\n", ret); } int main() { ini(); for(cin >> T; T; --T) { scanf("%d%d", &n, &m); solve(n, m); } return 0; }
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原文地址：http://www.cnblogs.com/19992147orz/p/7525765.html
