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判断生成树的唯一性，唯一则输出权值，不唯一输出Not Unique
次小生成树权值是否等于最小生成树的
一种容易想到的方法是枚举删除最小生成树上的边，再求最小生成树。用kruskal这种算法的复杂度为O(n*elog2e)，当图比较稠密时，复杂度接近O(n^3)。
但有一种更简单的方法：先求最小生成树T，枚举添加不在T中的边，则添加后一定会形成环。找到环上边值第二大的边(即环中属于T中的最大边，新添加进去的肯定最大，毕竟T是最小生成树，T之外的边最大)，把它删掉，计算当前生成树的权值，取所有枚举修改的生成树的最小值，即为次小生成树。
这种方法在实现时有更简单的方法：首先求最小生成树T，然后从每个结点u遍历最小生成树T，用一个二维数组max[u][v]记录结点u到结点v的路劲上（不是指U到V节点权值是MAX[U][V]，而是U到V路径上（在最小生成树上）最大权值边是max[u][v]）边的最大值(即最大边的值)。然后枚举不在T中的边(u,v)，计算T- max[u][v] + w(u,v)的最小值，即为次小生成树的权值。显然，这种方法的时间复杂度为O(n^2 + e)。
可见，第二种算法将原来的时间复杂度O(n^3)提高到了O(n^2)。
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <queue>
const int INF = 0x7fffffff;
const int MAX = 10001;
int n,m;
int num;
int p[MAX];
int max[101][101];
struct Edge //原始图
{
int from;
int to;
int w;
bool flag;
}e[MAX];
struct Tree //最小生成树
{
int to;
int w;
int next;
}tree[202];
int index[101];
struct Node //生成树的结点
{
int seq; //结点编号
int max; //从某个点到它的路径中的最大边的长度
};
bool cmp(const Edge &a, const Edge &b)
{
return a.w < b.w;
}
void makeSet()
{
for(int i = 0; i <= n; i++)
{
p[i] = i;
}
}
int findSet(int x)
{
if(x != p[x])
p[x] = findSet(p[x]);
return p[x];
}
void addEdge(int from, int to, int w)
{
tree[num].to = to;
tree[num].w = w;
tree[num].next = index[from];
index[from] = num++;
}
int kruscal()
{
int i,j;
int x, y;
int edgeNum = 0;
int result = 0;
makeSet();
std::sort(e,e+m,cmp);
for(i = 0; i < m; i++)
{
x = findSet(e[i].from);
y = findSet(e[i].to);
if(x != y)
{
edgeNum++;
addEdge(e[i].from,e[i].to,e[i].w);
addEdge(e[i].to,e[i].from,e[i].w);
e[i].flag = true;
p[x] = y;
result += e[i].w;
}
}
return edgeNum == n-1 ? result : -1;
}
void bfs(int p)
{
int i,j;
bool used[101];
memset(used,0,sizeof(used));
std::queue<Node> que;
Node now,adj;
now.max = 0;
now.seq = p;
que.push(now);
used[p] = true;
while(!que.empty())
{
Node q = que.front();
que.pop();
for(i = index[q.seq]; i != -1; i = tree[i].next)//在最小生成树上找
{
adj.seq = tree[i].to;
adj.max = tree[i].w;
if(!used[adj.seq])
{
if(q.max > adj.max)
adj.max = q.max;
max[p][adj.seq] = adj.max;
used[adj.seq] = true;
que.push(adj);
}
}
}
}
void second_MST()
{
int i,j;
int mst = kruscal();
for(i = 1; i <= n; i++)
bfs(i);
int smst = INF;
for(i = 0; i < m; i++)
{
if(!e[i].flag)
{
if(mst + e[i].w - max[e[i].from][e[i].to] < smst)
smst = mst + e[i].w - max[e[i].from][e[i].to];
/*
这里，遍历所有不在最小生成树的边。
如果它起点在最小生成树上，而另一个端点不再最小生成树上，那么max[e[i].from][e[i].to] =0，则mst + e[i].w - max[e[i].from][e[i].to] 得到的肯定是偏大的值。
如果他两个端点都不在生成树上，那么同样max[e[i].from][e[i].to] =0。
只有两个端点U,V都在生成树上，且边不属于最小生成树的边，他们的max[e[i].from][e[i].to]不等于0，才有可能mst + e[i].w - max[e[i].from][e[i].to] 最小。对于这种情况，加上之后，树就变成图了，UV之间存在两条路径相连，因此要减去UV上原先在最小生成树的边，从这其中，删除最大的那条
*/
}
}
if(smst == mst)
printf("Not Unique!\n");
else
printf("%d\n",mst);
}
int main()
{
int i,j;
int cases;
int a,b,w;
scanf("%d",&cases);
while(cases--)
{
scanf("%d %d",&n,&m);
for(i = 0; i < m; i++)
{
scanf("%d %d %d",&e[i].from,&e[i].to,&e[i].w);
e[i].flag = false;
}
num = 0;
memset(index,-1,sizeof(index));
second_MST();
}
return 0;
}
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原文地址：http://www.cnblogs.com/notlate/p/3962110.html
