标签：扩展 快速幂 als 欧几里得算法 除法 acm-icpc log 快速 main
这道题比较考验（高中）数学知识，主要用到乘法逆元、多项式奇数项之和与快速幂取模三个知识点。
乘法逆元：设整数a、x、m(a与m互质),若x*a=1 mod m则x就是a对m的乘法逆元。一个数除以a后对m取模的结果等于这个数乘以a对m的逆元对m取模的结果。
乘法逆元的计算要用到扩展欧几里得算法:
基本算法：必然存在两整数a,b使不全为零的两整数x,y满足：x*a+y*b=gcd(x,y) ①.由x*a=1 mod m可知x*a+m*(-k)=1(k为整数).因为a,m互质所以gcd(a,m)=1，故此式与扩展欧几里得公式一致。
由辗转相除法可知gcd(x,y)=gcd(y,x mod y)，因为式y*a1+(x mod y)*b1=gcd(y,x mod y) ②，所以x*a+y*b=y*a1+(x mod y)*b1 ③。将③式展开，比较x,y系数可知a=b1,b=a1-(x/y)*b1.又因为在y=0时，gcd(x,y)=x,此时a=1,b=0，于是可以递归地求出a,b的值。代码如下：
int gcd(int x, int y, int &a, int &b) { if (y == 0) { a = 1, b = 0; return x; } int GCD=gcd(y, x%y, a, b); int a1 = a, b1 = b; a = b1; b = a1 - (x / y)*b1; return GCD; }
快速幂取模：代码如下：
int QPow(int a, int N) { long long r = 1, aa = a; while (N) { if (N & 1 == 1) r = (r * aa) % mod; N >>= 1; aa = (aa * aa) % mod; } return r; }
在本题需要注意极限情况下计算过程中数值可能超出int范围。
多项式奇数项之和：
本题本质上就是要求((1-q)+q)^k展开式中的(1-q)次数为偶数的项之和,设为s,可知：s=(((1-q)+q)^k+((1-q)-q)^k)/2.答案即为s mod (1e9+7).
主函数代码如下：
int main() { ios::sync_with_stdio(false); int N; cin >> N; for (int i = 0; i < N; ++i) { int p, q, k; cin >> p >> q >> k; int a = (2 * power(p, k)) % mod; int x = 0, y = 0; gcd(a, mod, x, y); while (x < 0)x += mod; cout << (long long)(x*(long long)(power(p, k) + power(p - 2 * q, k))%mod) % mod << endl; } }
(注意数值大小！注意数值大小！注意数值大小！)
2017 ACM-ICPC 亚洲区（西安赛区）网络赛 B题 Coin 题解
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原文地址：http://www.cnblogs.com/Algorithm-X/p/7535131.html
