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树和二叉树总结及算法实现

时间:2014-09-09 13:12:38      阅读:445      评论:0      收藏:0      [点我收藏+]

标签:算法   c++   数据结构   二叉树   

【注:相关概念来自经典教材、百度百科及维基百科】

树状图是一种数据结构,它是由n(n>=1)个有限节点组成一个具有层次关系的集合。它具有以下的特点:

  • 每个节点(node)有零个或多个子节点;
  • 没有父节点的节点称为根节点;
  • 每一个非根节点有且只有一个父节点;
  • 除了根节点外,每个子节点可以分为多个不相交的子树;

如图所示:

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相关概念:

  1. 节点的:一个节点含有的子树的个数称为该节点的度;
  2. 树的:一棵树中,最大的节点的度称为树的度;
  3. 叶节点终端节点:度为零的节点;
  4. 非终端节点分支节点:度不为零的节点;
  5. 父亲节点父节点:若一个节点含有子节点,则这个节点称为其子节点的父节点;
  6. 孩子节点子节点:一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点;
  7. 兄弟节点:具有相同父节点的节点互称为兄弟节点;
  8. 节点的层次:从根开始定义起,根为第1层,根的子节点为第2层,以此类推;
  9. 树的高度深度:树中节点的最大层次
  10. 堂兄弟节点:父节点在同一层的节点互为堂兄弟;
  11. 节点的祖先:从根到该节点所经分支上的所有节点;
  12. 子孙:以某节点为根的子树中任一节点都称为该节点的子孙。
  13. 森林:由m(m>=0)棵互不相交的树的集合称为森林;

树的种类

  • 无序树:树中任意节点的子节点之间没有顺序关系,这种树称为无序树,也称为自由树;【信息传播图】
  • 有序树:树中任意节点的子节点之间有顺序关系,这种树称为有序树;【家族族谱图】
    • 二叉树:每个节点最多含有两个子树的树称为二叉树;
      • 完全二叉树:对于一颗二叉树,假设其深度为d(d>1)。除了第d层外,其它各层的节点数目均已达最大值,且第d层所有节点从左向右连续地紧密排列,这样的二叉树被称为完全二叉树;【倒数第一层不是倒数第二层的二倍,尚缺N个节点】
      • 满二叉树:对于上述的完全二叉树,如果去掉其第d层的所有节点,那么剩下的部分就构成一个满二叉树(此时该满二叉树的深度为d-1);【倒数第一层是倒数第二层的二倍】
    • 霍夫曼树带权路径最短的二叉树称为哈夫曼树或最优二叉树;【学过信息论的都知道霍夫曼编码,老NB了】

    • B树 【每一层数据大小有序】

二叉树

二叉树的每个结点至多只有二棵子树(不存在度大于2的结点),二叉树的子树有左右之分,次序不能颠倒。二叉树的第i层至多有bubuko.com,布布扣个结点;深度为k的二叉树至多有bubuko.com,布布扣【用等比数列求和公式算算】个结点;对任何一棵二叉树T,如果其终端结点数为bubuko.com,布布扣,度为2的结点数为bubuko.com,布布扣,则bubuko.com,布布扣

树和二叉树的三个主要差别:

  1. 树的结点个数至少为1,而二叉树的结点个数可以为0;
  2. 树中结点的最大度数没有限制,而二叉树结点的最大度数为2;【度数即某节点的子节点个数】
  3. 树的结点无左、右之分,而二叉树的结点有左、右之分。

访问二叉树

L、D、R分别表示遍历左子树、访问根结点和遍历右子树。那么根据排列组合,有6种可能。根据根的位置,常见以下三种遍历方法。先中后是相对根节点说的。注:一定程度上维基百科授人与鱼而不授人以渔,不能解惑。

前(先)序遍历

先(根)序遍历二叉树的顺序是DLR。【注意都是先L后R。】-----以下三张图片来源于课件

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解释:每个节点都用DLR的顺序遍历。下同。

中序遍历

中(根)序遍历二叉树的顺序是LDR。【注意都是先L后R。】

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后序遍历

后(根)序遍历二叉树的顺序是LRD。【注意都是先L后R。】

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例子

例子来源于互联网及课件,分析为博主所写,如有错误,恳请指正。

例1:

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先序遍历(根左右DLR):ABDEC

中序遍历(左根右LDR):DBEAC

后序遍历(左右根LRD):DEBCA

例2:

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先序遍历(根左右DLR):ABCDEFGHK 【最简单的。先把根写下来,再写左子树的根,如果左子树还有子树,继续往下找,直到叶子节点!因为根左右,先写根,即遇到的就写下来!只需要注意同层的先写左,左如果有子树,继续遍历其子树。

中序遍历(左根右LDR):BDCAEHGKF 【不好写,容易犯错。从左子树开始寻找,子树里面还有子树,继续寻找其左子树,直到遇到叶子节点(D)或者没有左子树(B)写下来。例子里B没有左子树,所以先写,然后遍历右子树,右子树也从其左子树开始遍历,所以是BCD;相对根节点,左子树遍历完成,所以是BDCA;接下来遍历根节点的右子树,按上述步骤,既是:E(其没有左子树)H(叶子节点,其没有左子树,且是G的L)G(自身为根D)K(相对于节点G,其为R)G(G为F的L)F】

后序遍历(左右根LRD):DCBHKGFEA 【先左子树,再右子树,最后根节点;没有左子树,则寻找此节点的右子树,在右子树里再按照LRD的顺序找,直到找到叶子节点(概念在上面),开始回溯写下来,相当于堆栈!】

例3:

怎么根据前序中序求后序:

已知前序遍历为GDAFEMHZ,中序遍历为ADEFGHMZ,请画出这棵二叉树。

①根据前序遍历特征,我们知道根结点必在首位置,所以为G;

②根据中序遍历特征。其中根节点G左侧的ADEF必然是根节点的左子树,G右侧的HMZ必然是根节点的右子树;

③根据前序中序特征,重复以上步骤。递归找到子树根节点;

那么,我们可以画出这个二叉树:

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由图可知,后序遍历顺序为:AEFDHZMG

怎么根据后序中序求前序:

已知一棵二叉树的中序序列和后序序列分别是BDCEAFHG 和 DECBHGFA,请画出这棵二叉树。
分析:
①由后序遍历特征,根结点必在后序序列尾部(即A);
②由中序遍历特征,根结点必在其中间,而且其左部必全部是左子树的子孙(即BDCE),其右部必全部是右子树的子孙(即FHG);
③递归找出子树根节点。
那么,我们可以画出这个二叉树:

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注意事项:

    左子树中序为BDCE,后序为DECB,说明B为A的左子树根节点,C为B的右子树(从BDCE看出)根节点(从DCE及DEC看出);

    右子树中序为FHG,后序为HGF,说明F为A的右子树的根节点,H为G的左子树根节点。

C++实现

反爬虫,先不写了。

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原文地址:http://blog.csdn.net/zhanh1218/article/details/39123975

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