bzoj 2752 9.20考试第三题高速公路(road)题解

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2752: [HAOI2012]高速公路(road)

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Description

Y901高速公路是一条重要的交通纽带，政府部门建设初期的投入以及使用期间的养护费用都不低，因此政府在这条高速公路上设立了许多收费站。
Y901高速公路是一条由N-1段路以及N个收费站组成的东西向的链，我们按照由西向东的顺序将收费站依次编号为1~N，从收费站i行驶到i+1(或从i+1行驶到i)需要收取Vi的费用。高速路刚建成时所有的路段都是免费的。
政府部门根据实际情况，会不定期地对连续路段的收费标准进行调整，根据政策涨价或降价。
无聊的小A同学总喜欢研究一些稀奇古怪的问题，他开车在这条高速路上行驶时想到了这样一个问题:对于给定的l,r(l<r),在第l个到第r个收费站里等概率随机取出两个不同的收费站a和b，那么从a行驶到b将期望花费多少费用呢?

Input

第一行2个正整数N,M，表示有N个收费站，M次调整或询问
接下来M行，每行将出现以下两种形式中的一种
C l r v 表示将第l个收费站到第r个收费站之间的所有道路的通行费全部增加v
Q l r 表示对于给定的l,r，要求回答小A的问题
所有C与Q操作中保证1<=l<r<=N

Output

对于每次询问操作回答一行，输出一个既约分数
若答案为整数a，输出a/1

Sample Input

4 5
C 1 4 2
C 1 2 -1
Q 1 2
Q 2 4
Q 1 4

Sample Output

1/1
8/3
17/6

HINT

数据规模

所有C操作中的v的绝对值不超过10000

在任何时刻任意道路的费用均为不超过10000的非负整数

所有测试点的详细情况如下表所示

Test N M

1 =10 =10

2 =100 =100

3 =1000 =1000

4 =10000 =10000

5 =50000 =50000

6 =60000 =60000

7 =70000 =70000

8 =80000 =80000

9 =90000 =90000

10 =100000 =100000　　

　　考试前一天晚上做梦，梦见自己考试140，倒数第二，一开始以为自己只是日有所思夜有所梦，然后……这道题助我梦想成真/(ㄒoㄒ)/~~然而最终只有20分……

　　其实当天已经推出来了式子，然而由于不敢去打，只能打了区间修改单点查询的打法，结果还全E了，好尴尬啊，连暴力的40分都没拿到。

　　基本大多数人都可以推到这里——一个边对于答案的贡献（不算分母）：设这条边为第i条边，询问为l,r：(i-l+1)*(r-i)*v[i]。

　　然后我们大可把这个式子展开为：

　　　　　　r*(i+1)*v[i]+i*l*v[i]-l*r*v[i]-i*(i+1)*v[i]。

　　由于l,r随询问而变，我们无从得知，但由于求得是上述式子的最终值，我们可以去维护上式中的四个单项式，以及他们的系数。

　　通过系数我们就可以很轻松的应对区间修改，因为系数是不受任何影响的，而对于每一个修改，对于答案的影响就是修改值乘以系数，这样我们的修改查询都是log n的了。

　　最后叮嘱的一点是long long 不然会死的很惨。

  1 #include<iostream>
  2 #include<cstdlib>
  3 #include<cstdio>
  4 #include<cstring>
  5 #include<queue>
  6 #include<algorithm>
  7 #include<cmath>
  8 #include<map>
  9 #include<vector>
 10 #define N 100004
 11 #define int long long
 12 using namespace std;
 13 int n,m;
 14 struct no
 15 {
 16     int left,right,mid;
 17     long long lazy;
 18     long long data[5];
 19     long long sum[5];
 20 }node[N*4];
 21 long long gcd(long long a,long long b)
 22 {
 23     if(b==0)return a;
 24     return gcd(b,a%b);
 25 }
 26 void pushup(int x)
 27 {
 28     for(int i=1;i<=4;i++)
 29     {
 30         node[x].data[i]=node[x*2].data[i]+node[2*x+1].data[i];
 31         node[x].sum[i]=node[x*2].sum[i]+node[2*x+1].sum[i];
 32     }
 33 }
 34 void build(int left,int right,int x)
 35 {
 36     node[x].left=left,node[x].right=right;
 37     if(left==right)
 38     {
 39         node[x].data[1]=left+1;
 40         node[x].data[2]=left;
 41         node[x].data[3]=1;
 42         node[x].data[4]=left*(left+1);
 43         return;
 44     }
 45     int mid=(left+right)>>1;
 46     node[x].mid=mid;
 47     build(left,mid,2*x);
 48     build(mid+1,right,2*x+1);
 49     pushup(x);
 50 }
 51 struct inf
 52 {
 53     long long a,b;
 54 };
 55 char b[50];
 56 void pushdown(int x)
 57 {
 58     if(node[x].lazy)
 59     {
 60         node[2*x].lazy+=node[x].lazy;
 61         node[x*2+1].lazy+=node[x].lazy;
 62         for(int i=1;i<=4;i++)
 63         {
 64             node[2*x].sum[i]+=node[x].lazy*node[2*x].data[i];
 65             node[2*x+1].sum[i]+=node[x].lazy*node[2*x+1].data[i];
 66         }
 67         node[x].lazy=0;
 68     }
 69 }
 70 void add(int left,int right,int x,int z)
 71 {
 72     if(node[x].left==left&&node[x].right==right)
 73     {
 74         node[x].lazy+=z;
 75         for(int i=1;i<=4;i++)
 76             node[x].sum[i]+=node[x].data[i]*z;
 77         return;
 78     }
 79     pushdown(x);
 80     int mid=node[x].mid;
 81     if(left>mid)
 82         add(left,right,x*2+1,z);
 83     else if(right<=mid)
 84         add(left,right,2*x,z);
 85     else
 86         add(left,mid,x*2,z),add(mid+1,right,2*x+1,z);
 87     pushup(x);
 88 }
 89 inf get(long long left,long long right,int x,long long l,long long r)
 90 {
 91     if(node[x].left==left&&node[x].right==right)
 92     {
 93         inf aa;
 94         aa.a=node[x].sum[1]*r-l*r*node[x].sum[3];
 95         aa.a-=node[x].sum[4];
 96         aa.a+=l*node[x].sum[2];
 97         aa.b=(r-l+1)*(r-l)/2;
 98         long long t=gcd(aa.a,aa.b);
 99         aa.a/=t;
100         aa.b/=t;
101         return aa;
102     }
103     pushdown(x);
104     int mid=node[x].mid;
105     if(left>mid)
106         return get(left,right,2*x+1,l,r);
107     else if(right<=mid)
108         return get(left,right,2*x,l,r);
109     else
110     {
111         inf aa=get(left,mid,2*x,l,r);
112         inf bb=get(mid+1,right,2*x+1,l,r);
113         if(aa.b==bb.b)
114         {
115             aa.a+=bb.a;
116             long long t=gcd(aa.a,aa.b);
117             if(t!=1)
118                 aa.a/=t,aa.b/=t;
119             return aa;
120         }
121         else
122         {
123             long long tt=gcd(aa.b,bb.b);
124             long long c;
125             if(aa.b%tt==0)
126             {
127                 c=aa.b/tt;
128                 c*=bb.b;
129             }
130             else if(bb.b%tt==0)
131             {
132                 c=bb.b/tt;
133                 c*aa.b;
134             }
135             else
136             {
137                 c=aa.b*bb.b/tt;
138             }
139             aa.a*=c/aa.b;
140             bb.a*=c/bb.b;
141             aa.a+=bb.a;
142             aa.b=c;
143             long long t=gcd(aa.a,aa.b);
144             if(t!=1)
145                 aa.a/=t,aa.b/=t;
146             return aa;
147         }
148     }
149 }
150 signed main()
151 {
152     scanf("%lld%lld",&n,&m);
153     build(1,n-1,1);
154 while(m--)
155 {
156     scanf("%s",b);
157     if(b[0]==‘C‘)
158     {
159         int l,r,z;
160         scanf("%lld%lld%lld",&l,&r,&z);
161         add(l,r-1,1,z);
162     }
163     else
164     {
165         long long l,r;
166         scanf("%lld%lld",&l,&r);
167         inf tt=get(l,r-1,1,l,r);
168         printf("%lld/%lld\n",tt.a,tt.b);
169     }
170 }
171     return 0;
172 }

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2752: [HAOI2012]高速公路(road)

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