NEFU 2 - 猜想 - [筛法求素数]

时间：2017-09-22 00:57:04 阅读：164 评论：0 收藏：0 [点我收藏+]

题目链接：http://acm.nefu.edu.cn/JudgeOnline/problemShow.php?problem_id=2

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Description

哥德巴赫（Goldbach ]C.，1690.3.18~1764.11.20）是德国数学家；出生于格奥尼格斯别尔格（现名加里宁城）；曾在英国牛津大学学习；原学法学，由于在欧洲各国访问期间结识了贝努利家族,所以对数学研究产生了兴趣；曾担任中学教师。1725年，到了俄国，同年被选为彼得堡科学院院士；1725年~1740年担任彼得堡科学院会议秘书；1742年，移居莫斯科，并在俄国外交部任职。
1742年，哥德巴赫在教学中发现，每个不小于6的偶数都是两个素数（只能被1和它本身整除的数）之和。如6＝3＋3，14＝3＋11等等。公元1742年6月7日哥德巴赫写信给当时的大数学家欧拉，欧拉在6月30日给他的回信中说，他相信这个猜想是正确的，但他不能证明。叙述如此简单的问题，连欧拉这样首屈一指的数学家都不能证明，这个猜想便引起了许多数学家的注意。从哥德巴赫提出这个猜想至今，许多数学家都不断努力想攻克它，但都没有成功。
我们不需要你去证明哥德巴赫猜想。
如果哥德巴赫猜想是正确的，一个（不小于6的）偶数，都是两个素数之和。那么这个偶数能被至少一个素数对表示，如14，即可以表示为14＝3＋11，也可以表示为14=7+7。不同的偶数对应的素数对的数目是不一样的，如偶数6，就只能表示为6=3+3。对于每个给定的偶数，我们希望知道有多少素数对的和等于该偶数。

Input

有多组测试数据。每组测试数据占一行，包含唯一的一个正偶数n.(6 <= n <= 2^24,)。 输出以EOF结束。

Output

对于每个输入的偶数，输出一行包含唯一的一个整数：表示有多少个素数对的和是输入的偶数。

Sample Input

6
14

Sample Output

1
2

Source

2009湘潭邀请赛

题解：

本题n最大可以达到2^24，我们就考虑用一种方法，把所有小于2^24的素数都找出来；

显然枚举1到2^24每个数，直接用sqrt(n)的复杂度来检测是否为素数的方法是不太可行的；

因此使用筛法来求所有小于等于N的素数：

①埃筛（埃拉托斯特尼筛法）

　　朴素的思想：素数的倍数必然不为素数。

　　实现方法：先假设在1~N的范围内所有的数为素数，例如使用标记数组isPrime[N]，就全部先标记为1；然后isPrime[0]=isPrime[1]=0；

　　　　　　　然后i = 2 to sqrt(N)枚举每个数，如果isPrime[i]，则枚举j = 2i , 3i , 4i , …… , ki （ ki <= N 且 (k+1)i > N ），全部isPrime[j]=0；

　　反证法：假设存在一个数n，它是一个合数，但是isPrime[n]=1，则按照算法，n不存在一个因数满足小于等于sqrt(n)（要是有，n就被筛钓了）；

　　　　　　因此，n必然有一个因数m，满足sqrt(n) < m < n，则必然存在另一个数 M 满足 M * m = n，则M必然小于sqrt(n)，这与前面相矛盾，故n必然是素数；

用这样的筛法，我们就可以写出本题的AC代码：

 1 #include<cstdio>
 2 #include<cstring>
 3 #include<cmath>
 4 #define MAX 16777220
 5 bool isPrime[MAX];
 6 int n;
 7 void screen()//埃筛求素数
 8 {
 9     memset(isPrime,1,sizeof(isPrime));
10     isPrime[0]=isPrime[1]=0;
11     int sqrt_MAX=(int)ceil(sqrt(MAX));
12     for(int i=2;i<=sqrt_MAX;i++)
13     {
14         if(isPrime[i]) for(int j=i*2;j<=MAX;j+=i) isPrime[j]=0;
15     }
16 }
17 int main()
18 {
19     screen();
20     while(scanf("%d",&n)!=EOF)
21     {
22         int cnt=0;
23         for(int i=1;i<=n/2;i++)
24         {
25             if(isPrime[i] && isPrime[n-i]) cnt++;
26         }
27         printf("%d\n",cnt);
28     }
29 }

②欧拉筛法（线性筛法）：

　　埃筛存在一个缺陷：重复划去某些合数，例如6，既是2的倍数，又是3的倍数，那么它就会被重复划去；

　　因此采用一种更加优化的方法筛出素数；

 1 #include<cstdio>
 2 #include<cstring>
 3 #include<cmath>
 4 #define MAX 16777220
 5 int n;
 6 bool isPrime[MAX];
 7 int PrimeNum[MAX/5],cnt=0;
 8 void screen()//欧拉筛法求素数
 9 {
10     memset(isPrime,1,sizeof(isPrime));
11     isPrime[0]=isPrime[1]=0;
12     for(int i=2;i<=MAX;i++)
13     {
14         if(isPrime[i]) PrimeNum[cnt++]=i;
15         for(int j=0;j<cnt;j++)
16         {
17             if(i*PrimeNum[j]>MAX) break;
18             isPrime[(i*PrimeNum[j])]=0;
19             if(i%PrimeNum[j]==0) break;
20                 //比i*PrimeNum[j]更大的数，会被PrimeNum[0]~PrimeNum[j]的素数筛掉
21         }
22     }
23 }
24 int main()
25 {
26     screen();
27     while(scanf("%d",&n)!=EOF)
28     {
29         int cnt=0;
30         for(int i=1;i<=n/2;i++)
31         {
32             if(isPrime[i] && isPrime[n-i]) cnt++;
33         }
34         printf("%d\n",cnt);
35     }
36 }