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最小二乘法是用来做函数拟合或者求函数极值的方法。在机器学习，尤其是回归模型中，经常可以看到最小二乘法的身影，这里就对我对最小二乘法的认知做一个小结。
最小二乘法是由勒让德在19世纪发现的，原理的一般形式很简单，当然发现的过程是非常艰难的。形式如下式：
目标函数 = Σ（观测值-理论值）2
观测值就是我们的多组样本，理论值就是我们的假设拟合函数。目标函数也就是在机器学习中常说的损失函数，我们的目标是得到使目标函数最小化时候的拟合函数的模型。举一个最简单的线性回归的简单例子，比如我们有m个只有一个特征的样本：
\[(x^{(1)},y^{(1)}), (x^{(2)},y^{(2)},...(x^{(m)},y^{(m)})\]
样本采用下面的拟合函数：
\[h_\theta(x) = \theta_0 + \theta_1 x\]
这样我们的样本有一个特征x，对应的拟合函数有两个参数\(\theta_0\)和\(\theta_1)\需要求出。
我们的目标函数为：
\[J(\theta_0, \theta_1) = \sum\limits_{i=1}^{m}(y^{(i)} - h_\theta(x^{(i)})^2 = \sum\limits_{i=1}^{m}(y^{(i)} - \theta_0 - \theta_1 x^{(i)})^2\]
用最小二乘法做什么呢，使\(J(\theta_0, \theta_1)\)最小，求出使\(J(\theta_0, \theta_1)\)最小时的\(\theta_0\)和\(\theta_1)\，这样拟合函数就得出了。
那么，最小二乘法怎么才能使\(J(\theta_0, \theta_1)\)最小呢？
上面提到要使\(J(\theta_0, \theta_1)\)最小，方法就是对\(\theta_0\)和\(\theta_1)\)分别来求偏导数，令偏导数为0，得到一个关于\(\theta_0\)和\(\theta_1)\)的二元方程组。求解这个二元方程组，就可以得到\(\theta_0\)和\(\theta_1)\的值。下面我们具体看看过程。
\(J(\theta_0, \theta_1)\)对\(\theta_0\)求导，得到如下方程：
\[\sum\limits_{i=1}^{m}(y^{(i)} - \theta_0 - \theta_1 x^{(i)}) = 0 \eqno{(1)} \]
\(J(\theta_0, \theta_1)\)对\(\theta_1\)求导，得到如下方程：
\[\sum\limits_{i=1}^{m}(y^{(i)} - \theta_0 - \theta_1 x^{(i)}) x^{(i)}= 0 \eqno{(2)} \]
①和②组成一个二元一次方程组，容易求出\(\theta_0\)和\(\theta_1)\的值：
θ0=∑i=1m(x(i))2∑i=1my(i)?∑i=1mx(i)∑i=1mx(i)y(i)/n∑i=1m(x(i))2?(∑i=1mx(i))2
θ1=n∑i=1mx(i)y(i)?∑i=1mx(i)∑i=1my(i)/n∑i=1m(x(i))2?(∑i=1mx(i))2
这个方法很容易推广到多个样本特征的线性拟合。
拟合函数表示为 
hθ(x1,x2,...xn)=θ0+θ1x1+...+θnxn, 其中θi (i = 0,1,2... n)为模型参数，xi (i = 0,1,2... n)为每个样本的n个特征值。这个表示可以简化，我们增加一个特征
x0=1 ，这样拟合函数表示为：
hθ(x0,x1,...xn)=∑i=0nθixi。
损失函数表示为：
J(θ0,θ1...,θn)=∑j=1m(hθ(x0(j)),x1(j),...xn(j)))?y(j)))2=∑j=1m(∑i=0nθixi(j)?y(j))2
利用损失函数分别对θi(i=0,1,...n)求导,并令导数为0可得：
∑j=0m(∑i=0nθixi(j)?yj)xij = 0 (i=0,1,...n)
这样我们得到一个N+1元一次方程组，这个方程组有N+1个方程，求解这个方程，就可以得到所有的N+1个未知的θ。
这个方法很容易推广到多个样本特征的非线性拟合。原理和上面的一样，都是用损失函数对各个参数求导取0，然后求解方程组得到参数值。这里就不累述了。
矩阵法比代数法要简洁，且矩阵运算可以取代循环，所以现在很多书和机器学习库都是用的矩阵法来做最小二乘法。
这里用上面的多元线性回归例子来描述矩阵法解法。
假设函数hθ(x1,x2,...xn)=θ0+θ1x1+...+θnxn的矩阵表达方式为：
hθ(x)=Xθ
其中， 假设函数hθ(X)为mx1的向量,θ为nx1的向量，里面有n个代数法的模型参数。X为mxn维的矩阵。m代表样本的个数，n代表样本的特征数。
损失函数定义为
J(θ)=12(Xθ?Y)T(Xθ?Y)
其中Y是样本的输出向量，维度为mx1. 12在这主要是为了求导后系数为1，方便计算。
根据最小二乘法的原理，我们要对这个损失函数对θ向量求导取0。结果如下式：
??θJ(θ)=XT(Xθ?Y)=0
这里面用到了矩阵求导链式法则，和两个矩阵求导的公式。
公式1：
??X(XXT)=2X
公式2：??θ(Xθ)=XT
对上述求导等式整理后可得：
XTXθ=XTY
两边同时左乘
(XTX)?1可得：
θ=(XTX)?1XTY
这样我们就一下子求出了θ向量表达式的公式，免去了代数法一个个去求导的麻烦。只要给了数据,我们就可以用θ=(XTX)?1XTY算出θ。
从上面可以看出，最小二乘法适用简洁高效，比梯度下降这样的迭代法似乎方便很多。但是这里我们就聊聊最小二乘法的局限性。
首先，最小二乘法需要计算XTX的逆矩阵，有可能它的逆矩阵不存在，这样就没有办法直接用最小二乘法了，此时梯度下降法仍然可以使用。当然，我们可以通过对样本数据进行整理，去掉冗余特征。让XTX的行列式不为0，然后继续使用最小二乘法。
第二，当样本特征n非常的大的时候，计算XTX的逆矩阵是一个非常耗时的工作（nxn的矩阵求逆），甚至不可行。此时以梯度下降为代表的迭代法仍然可以使用。那这个n到底多大就不适合最小二乘法呢？如果你没有很多的分布式大数据计算资源，建议超过10000个特征就用迭代法吧。或者通过主成分分析降低特征的维度后再用最小二乘法。
第三，如果拟合函数不是线性的，这时无法使用最小二乘法，需要通过一些技巧转化为线性才能使用，此时梯度下降仍然可以用。
第四，讲一些特殊情况。当样本量m很少，小于特征数n的时候，这时拟合方程是欠定的，常用的优化方法都无法去拟合数据。当样本量m等于特征说n的时候，用方程组求解就可以了。当m大于n时，拟合方程是超定的，也就是我们常用与最小二乘法的场景了。
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