Hard Life

  1 /*
  2 题意简述一个公司有n个人,给出了一些有冲突的人的对数(u,v),所有为了公司更好的发展，公司的
  3 总裁决定裁人，那么总裁现在裁要裁掉冲突率最高的哪些（冲突率=人数/在这些人中存在的冲突数
  4 分析;很明显的一个求最大密度子图的题目，求最大密度子图的方法有两种不同的模型可以求解，
  5 一种是采用了转换为最大权闭合图的模型来求解，而另一种则是通过补集转换的思想来求解，
  6 现在就最大权闭合图的模型来谈论以下：设max g = f(x)= |E‘|/|V’| ，找一个子图的边数与点数
  7 的比值达到其中的最大，我们通常都是构造一个函数max h（g）= |E‘|-g*|V‘|,当h(g)为0的时候，
  8 g的值即为最优（证明见Amber论文），h（g）>0 时 g<最优值， h(g)<0时，g>最优值；
  9 那么首先来解释为什么要是该函数的值尽量大？因为如果最大值大于0那么我们就可以继续增加
 10 g的值来减小h(g),若最大值都小于0了，那么g不可能增加只可能减少！
 11 注意观察h（g）,边和点有依赖关系，就边依赖点，边存在的必要条件是点的存在，那么这样以后，
 12 如果我们将边看成点，那么这不就符合最大权闭合子图了么，现在h（g）的求法就可以通过
 13 求新图的最大权闭合子图的值来求解，但是这里有个问题，建图之后你可以发现当求出来的值和
 14 h（g）原本应该为值不对应（具体为什么不怎么理解），可以这样理解，当最小的一个g使得
 15 h（g）为0的时候该解即为最优解，因为h(g)是以个单调递减函数，就该函数来看只可能存在一个
 16 g使得h（g）=0；然而通过求最大权闭合子图是子图权值和为0的有很多中g，当最小的一个g使得
 17 h（g）为0之后，如果g继续增大那么虽然通过最大权闭合子图的值求出来依旧为0，但是真正的
 18 h（g）< 0 了，所以要使得最优的一个解就是使得最大权闭合子图的权值和为0的最小的一个g值！
 19 这样求解之后从点点流到汇点为满流的边即为最大密度子图中的点
 20 注意精度的控制！
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 22 ////////////
 23 第二种模型的建图： 源点到各个点连接一条有向边权值为U,各个点到汇点连接一条边权值为U+2*g-d，
 24 原来有关系的点连接两条有向边（u,v），（v,u）权值为1（U可以取m，U的目的是用来使得2*g-d的值
 25 始终为正），这样以后求最小割，那么h（g）= （U*n-mincut）/2;二分找到最优值即为mid ，
 26 但是如果要求图中的点则需要用left来从新图求最大流之后然后从源点开始dfs遍历，
 27 
 28 这里再补充一点编程时需要注意的地方：这个题目是利用分数规划进行二分求解的，但这个问题的
 29 分数规划和我之前的见过的很多分数规划是不同的，之前的分数规划表达式很多都是在给定区间
 30 内只有一个零点的单调函数。但这个题目不同，因为MiniCut=U*n-Maxmize{f(n)}，而MiniCut& lt;=U*n是
 31 恒成立的，所以Maxmize{f(n)}>=0恒成立，及Maxmize{f(n)}函数会先递减，然后一直为0，
 32 我们的目标是找出第一个零点。
 33 
 34 */
 35 #include<iostream>
 36 #include<cstring>
 37 #include<algorithm>
 38 #include<cstdio>
 39 #include<queue>
 40 #include<cmath>
 41 using namespace std;
 42 const int N=205;
 43 const double INF=1000000000.0;
 44 const int M=300000;
 45 struct Node{
 46    int v;
 47    double f;
 48    int next;
 49 }edge[M];
 50 int n,m,u,v,w,cnt,sx,ex,top;
 51 int head[N],pre[N],deg[N];
 52 int xx[M],yy[M],ans[M];
 53 bool vis[N];
 54 void init(){
 55     cnt=0;
 56     memset(head,-1,sizeof(head));
 57 }
 58 void add(int u,int v,double w){
 59     edge[cnt].v=v;
 60     edge[cnt].f=w;
 61     edge[cnt].next=head[u];
 62     head[u]=cnt++;
 63     edge[cnt].f=0;
 64     edge[cnt].v=u;
 65     edge[cnt].next=head[v];
 66     head[v]=cnt++;
 67 }
 68 bool BFS(){
 69   memset(pre,0,sizeof(pre));
 70   pre[sx]=1;
 71   queue<int>Q;
 72   Q.push(sx);
 73  while(!Q.empty()){
 74      int d=Q.front();
 75      Q.pop();
 76      for(int i=head[d];i!=-1;i=edge[i].next    ){
 77         if(edge[i].f&&!pre[edge[i].v]){
 78             pre[edge[i].v]=pre[d]+1;
 79             Q.push(edge[i].v);
 80         }
 81      }
 82   }
 83  return pre[ex]>0;
 84 }
 85 double dinic(double flow,int ps){
 86     double f=flow;
 87      if(ps==ex)return f;
 88      for(int i=head[ps];i!=-1;i=edge[i].next){
 89         if(edge[i].f&&pre[edge[i].v]==pre[ps]+1){
 90             double a=edge[i].f;
 91             double t=dinic(min(a,flow),edge[i].v);
 92               edge[i].f-=t;
 93               edge[i^1].f+=t;
 94              flow-=t;
 95              if(flow<=0)break;
 96         }
 97 
 98      }
 99       if(f-flow<=0)pre[ps]=-1;
100       return f-flow;
101 }
102 double solve(){
103     double sum=0;
104     while(BFS())
105         sum+=dinic(INF,sx);
106     return sum;
107 }
108 double ok(double mid){
109     init();
110     sx=0,ex=n+1;
111     for(int i=1;i<=n;i++){
112         add(sx,i,m*1.0);
113         add(i,ex,m*1.0+2*mid-1.0*deg[i]);
114     }
115     for(int i=1;i<=m;i++){
116         add(xx[i],yy[i],1.0);
117         add(yy[i],xx[i],1.0);
118     }
119     return solve();
120 }
121 
122 void DFS(int u){
123   for(int i=head[u];i!=-1;i=edge[i].next){
124       int v=edge[i].v;
125       if(!vis[v]&&edge[i].f>1e-5){
126         vis[v]=1;
127         DFS(v);
128       }
129   }
130 }
131 int main() {
132     while(~scanf("%d%d",&n,&m)){
133           memset(deg,0,sizeof(deg));
134          for(int i=1;i<=m;i++){
135             scanf("%d%d",&u,&v);
136             xx[i]=u,yy[i]=v;
137             deg[u]++;
138             deg[v]++;
139          }
140          double bt=1.0/(n*1.0*n);//这是有定理得出的。
141          double l=0,r=1000;
142          while(abs(r-l)>=bt){
143             double mid=(r+l)/2;
144             double temp=(n*m*1.0-ok(mid))/2;
145             if(temp>=1e-7){//注意这里的精度，精度小了，就会wa
146                 l=mid;
147             }
148             else{
149                 r=mid;
150             }
151          }
152          if(m==0){//注意特判
153             puts("1\n1");
154             continue;
155          }
156          ok(l);
157          memset(vis,0,sizeof(vis));
158          vis[0]=1;
159          DFS(0);
160          top=0;
161          for(int i=1;i<=n;i++){//要求是输出的点数，能够从源点访问的点都是结果集中的元素
162             if(vis[i])
163                 ans[++top]=i;
164          }
165          printf("%d\n",top);
166          for(int i=1;i<=top;i++)
167             printf("%d\n",ans[i]);
168     }
169     return 0;
170 }